课时提能演练(二十七)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(预测题)已知向量a＝(1－cosθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，且a∥b，则锐角θ等于( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
2.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝ ( )
(A)(－1，－2) (B)(1，－2)
(C)(－1,2) (D)(1,2)
3.在△ABC中，如果·＞0，则△ABC的形状为( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
4.(易错题)圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝kx＋2，直线l与圆C交于A、B，若|＋|＜|－|(其中O为坐标原点)，则k的取值范围是( )
(A)(0，) (B)(－，)
(C)(，＋∞) (D)(－∞，－)∪(，＋∞)
5.(2012·大连模拟)a，b为非零向量，“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
6.a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m、n为正数)，若a∥b，则＋的最小值是( )
(A)2 (B)3 (C)2＋3 (D)3＋2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.已知A(，－2)与B(－，4)，若||＝||，则动点P的轨迹方程为 .
8.已知向量a＝(sinα，cosα－2sinα)，b＝(1,2).若a∥b，则＝ .
9.平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于 .(用a，b表示)
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.m＝(1,1)，n＝(－sinBsinC，cosBcosC)，且m⊥n.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝c，求S△ABC.
11.如图，在四边形ABCD中，＝λ(λ∈R)，||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形.
(1)求λ的值；
(2)求·的值.
【探究创新】
(16分)抛物线y＝－x2上有两点A(x1，－x12)，B(x2，－x22)，且⊥(O为坐标原点)，＝(0，－2).
(1)求证：∥；
(2)若＝－2，求△ABO的面积.
答案解析
1.【解析】选B.方法一：∵a∥b，a＝(1－cosθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，
∴(1－cosθ)(1＋sinθ)＝，
即1＋sinθ－cosθ－sinθcosθ＝，
∴sinθ－cosθ－sinθcosθ＝－，
∴sinθ－cosθ＝sinθcosθ－，
∴1－2sinθcosθ＝sin2θcos2θ－sinθcosθ＋，
即sin2θcos2θ＋sinθcosθ－＝0，
∴(sinθcosθ－)(sinθcosθ＋)＝0，
又∵θ为锐角，∴sinθcosθ＝，即sin2θ＝1，∴θ＝45°.
方法二：∵a∥b，a＝(1－cosθ，1)，b＝(，1＋sinθ)
∴(1－cosθ)(1＋sinθ)＝.
将各选项中的值代入验证可知，θ＝45°.
2.【解题指南】物体平衡，则所受合力为0.
【解析】选D.由物理知识知： f1＋f2＋f3＋f4＝0，
故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2).
3.【解析】选C.∵·＞0，∴·＜0，∴A为钝角，即△ABC为钝角三角形.
4.【解题指南】利用|＋|＜|－| (＋)2＜(－)2进行转化.
【解析】选D.由|＋|＜|－|两边平方化简得·＜0，∴∠AOB是钝角，
所以O(0,0)到kx－y＋2＝0的距离小于，
∴＜，∴k＜－或k＞，故选D.
5.【解析】选C.∵f(x)＝a2x2＋2a·bx＋b2，
∵a、b为非零向量，
若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)恒成立，
∴a2x2－2a·bx＋b2＝a2x2＋2a·bx＋b2，
∴4a·bx＝0，又x∈R，∴a·b＝0，∴a⊥b；
若a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝a2x2＋b2，
∴f(x)为偶函数.综上，选C.
6.【解析】选C.∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，
即m＋n＝1，又∵m，n＞0，
∴＋＝(＋)(m＋n)＝＋＋3≥2＋3
当且仅当＝即n＝m时取等号，
∴＋的最小值为2＋3.
7.【解析】设AB的中点为M，则M(0,1).
设P(x，y)，则＝(－x,1－y)，＝(－2，6)，
∵⊥，∴2x＋6－6y＝0，
即所求轨迹方程为x－y＋＝0.
答案：x－y＋＝0
8.【解析】∵a∥b，∴2sinα＝cosα－2sinα，即cosα＝4sinα，
∴＝＝－.
答案：－
9.【解析】∵cos∠BOA＝，
则sin∠BOA＝，
∴S△OAB＝|a|·|b|·
＝.
答案：
10.【解析】(1)因为m⊥n，
所以－sinBsinC＋cosBcosC＝0，
所以cos(B＋C)＝－，即cosA＝，
因为A为△ABC的内角，
所以0＜A＜π，
所以A＝.
(2)若a＝1，b＝c.由余弦定理得
b2＋c2－a2＝2bccosA，所以c2＝1，
所以S△ABC＝bc·sinA＝c2＝.
【方法技巧】解答向量与三角函数相结合问题的一般步骤
(1)利用向量的各种运算法则，常见的有a∥b，a⊥b等，去掉向量这层“外衣”，得到一个表达式.
(2)根据表达式的特点，进行有效地转化、变形、化简.
(3)若研究三角函数的性质，需变成“三个一”的结构形式(即一个角、一次幂、一个名的形式)；若研究三角形的边角关系，则需借助正、余弦定理进行求解.
【变式备选】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(＋)，－1)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝，b＝1，求c的值.
【解析】(1)由于m⊥n，所以m·n＝0，所以2sinB·2sin2(＋)－2＋cos2B＝0.
即2sinB·[1－cos2(＋)]－2＋cos2B＝0，
即2sinB＋2sin2B－2＋1－2sin2B＝0，
解得sinB＝.
由于0＜B＜π，所以B＝或.
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，得1＝3＋c2－2c(±)，即c2±3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.
11.【解析】(1)因为＝λ，所以BC∥AD，且||＝λ||.因为||＝||＝2，所以||＝2λ.
又|－|＝2，所以||＝2.
作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点.
在Rt△AHB中，有cos∠ABH＝＝，于是∠ABH＝30°，
所以∠ADB＝∠DBC＝30°.
而∠BDC＝90°，所以BD＝BCcos30°，
即2＝2λ·，解得λ＝2.
(2)由(1)知，∠ABC＝60°，||＝4，
所以与的夹角为120°，
故·＝||·||cos120°＝－4.
【探究创新】
【解析】(1)＝－＝(－x1，－2＋x12)，
＝－＝(x2－x1，－x22＋x12).
∵⊥，
∴·＝x1·x2＋x12x22＝0，
∴x1x2(4＋x1x2)＝0，
∴x1x2＝0(舍)或x1x2＝－4，
∴－x1[－(x22－x12)]＝x1(x2－x1)(x2＋x1)
＝(x2－x1)(x1x2＋x12)
＝(－2＋x12)(x2－x1)
∴(x2－x1)(－2＋x12)＋x1[－(x22－x12)]＝0，
∴∥.
(2)＝(x1，－x＋2)，＝(x2，－x＋2)
∵＝－2，
∴，
∵⊥，
∴S△ABO＝||||
＝·
＝
＝3.
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