课时提能演练(二十八)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·宜春模拟)设a∈R，且＋是实数，则a＝( )
(A) (B)1 (C) (D)2
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
3.(2011·广东高考)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝ ( )
(A)1＋i (B)1－i
(C)2＋2i (D)2－2i
4.(2011·辽宁高考)a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝( )
(A)2 (B) (C) (D)1
5.(预测题)已知＝1－ni，其中m，n是实数， i是虚数单位，则m＋ni＝( )
(A)1＋2i (B)1－2i (C)2＋i (D) 2－i
6.已知为纯虚数，为实数，且a，b∈R，则ab＝( )
(A)－1 (B)1 (C)2 (D)4
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.＝ .
8.已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝ .
9.定义运算 ＝ad－bc，复数z满足 ＝1＋i，则z＝ .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2011·上海高考)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
11.(易错题)复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
【探究创新】
(16分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1＋z2＝1＋i，求＋.
(2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a、b.
答案解析
1.【解析】选B.＋＝＋
＝＋＝.
∵＋是实数，∴1－a＝0，即a＝1.
2.【解析】选A.因为z＝＝＝＋i，所以z对应的点位于第一象限.
【方法技巧】复数几何意义的作用
复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机地结合在一起，能够更加灵活地解决问题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.
3.【解题指南】由(1＋i)z＝2得z＝，再由复数的除法运算法则可求得z.
【解析】选B.由(1＋i)z＝2得z＝＝
＝1－i.故选B.
【一题多解】选B.设z＝a＋bi(a、b∈R)，则(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i＝2，∴，
∴，∴z＝1－i.
4.【解析】选B.因为||＝2，故可化为|1－ai|＝2，又由于a为正实数，所以1＋a2＝4，得a＝，故选B.
5.【解析】选C.∵＝＝－i
又＝1－ni，∴，即.
∴m＋ni＝2＋i.
6.【解析】选A.∵＝＝＝＋i，
＝＝＝－i，
∴且－＝0，∴a＝1，b＝－1，
∴ab＝－1.
7.【解析】＝＝＝＝＝＝2－i.
答案：2－i
【变式备选】(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝ .
【解析】方法一：|z|＝＝，
z·＝|z|2＝.
方法二：z＝＝－＋，
z·＝(－＋)(－－)＝.
答案：
(2)已知复数z＝1－i，则＝ .
【解析】＝
＝＝＝－2i.
答案：－2i
8.【解析】设z＝ai，a∈R且a≠0，则(z＋2)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i.
∵(z＋2)2－8i是纯虚数，∴4－a2＝0且4a－8≠0.解得a＝－2.因此z＝－2i.
答案：－2i
9.【解析】由题意知zi－i＝1＋i，∴z＝＝－(1＋2i)i＝2－i.
答案：2－i
10.【解析】设z2＝a＋2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1＝2－i，又已知z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，则虚部4－a＝0，即a＝4，则复数z2＝4＋2i.
【变式备选】复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值.
【解析】1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝(＋)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.
11.【解析】如图，z1、z2、z3分别对应点A、B、C.
∴＝－，
∴所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，
在正方形ABCD中，＝，
∴所对应的复数为－3－i，
又＝－，
∴＝－所对应的复数为z3－(－3－i)
＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，
∴第四个顶点对应的复数为2－i.
【变式备选】已知复数z满足|z|＝1，求|z－(1＋i)|的最大值与最小值.
【解题指南】|z|＝1复数z对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值.
【解析】因为|z|＝1，所以z对应的点是单位圆x2＋y2＝1上的点，而|z－(1＋i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离.
所以最大值为＋1＝＋1，
最小值为－1＝－1.
【探究创新】
【解析】(1)∵＝(a,1)－(1,2)＝(a－1，－1)，
＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b－3)，
∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，
∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，
又z1＋z2＝1＋i，∴，∴，
∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，
∴＋＝＋
＝＋
＝＋＝－＋i.
(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，
z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，
∵z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，
∴，∴.
【点此下载】