巩固双基,提升能力
一、选择题
1．已知sin＝，cos＝－，则角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：sinθ＝2sincos＝2××＜0，cosθ＝cos2－sin2＝－＝－＜0，∴θ是第三象限角．
答案：C
2．已知sinα＝，则cos4α的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝，∴cos4α＝2cos22α－1＝2×2－1＝－.
答案：B
3．若－2π＜α＜－，则 的值是( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析： ＝
＝
＝.
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，
∴cos＜0，∴＝－cos.
答案：D
4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为( )
A. B.
C．± D．±
解析：∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角，
∴cos的值有两个．
由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，∴cosθ＝－.
∴2cos2＝.
∴cos＝±.
答案：C
5．已知x∈，cos2x＝a，则cosx＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：依题意得cos2x＝＝；
又x∈，因此cosx＝－.
答案：D
6．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：∵cosα＝－，α为第三象限角，
∴sinα＝－，∴tanα＝.
由tanα＝＝，得tan＝或tan＝－3.
又∵π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时， ＋2nπ＜＜＋2nπ，在第二象限；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ，在第四象限．
∴tan＝－3.
∴＝＝－.
答案：A
二、填空题
7．已知cos2α＝，则sin2α＝__________.
解析：sin2α＝＝.
答案：
8.＝－3，则tan2B＝__________.
解析：∵＝＝tanB＝－3，
∴tan2B＝＝.
答案：
9．设α是第二象限角，tanα＝－，且sin＜cos，则cos＝__________.
解析：∵α是第二象限角，∴可能在第一或第三象限．又sin＜cos，∴为第三象限的角，∴cos＜0.
∵tanα＝－，∴cosα＝－，
∴cos＝－＝－.
答案：－
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2cosxcos－sin2x＋sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．
解析：(1)f(x)＝2cosxcos(x－)－sin2x＋sinxcosx
＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx
＝cos2x＋sin2x
＝2sin，
∴T＝π.
(2)由f(α)＝1，得sin(2α＋)＝.
又α∈[0，π]，∴2α＋∈[，]．
∴2α＋＝，或2α＋＝.
故α＝，或α＝.
11．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈.
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝－cos2x
＝1＋sin2x－cos2x
＝1＋2sin.
又∵x∈，
∴≤2x－≤，
即2≤1＋2sin≤3.
∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.
(2)∵|f(x)－m|＜2?f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，
∴m＞f(x)max－2，且m＜f(x)min＋2.
∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．
12．设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值.
解析：(1)f(x)＝sincos－cossin－
cos＝sin－cos＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)方法一，在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，
从而g(x)＝f(2－x)
＝sin
＝sin
＝cos.
当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.
方法二，因区间关于x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值．由(1)知，f(x)＝sin.
当≤x≤2时，－≤x－ ≤，因此y＝g(x)在上的最大
值为g(x)max＝sin＝.
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