巩固双基,提升能力
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：cosA＝sin＞sinB，－A，B都是锐角，则－A＞B，A＋B＜，C＞.
答案：C
2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
答案：B
3．(2013·永州月考)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．2 km B．3 km
C．3 km D．2 km
解析：如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝sin30°＝3.
答案：B
4．(2013·日照段考)轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 B．35海里
C．35海里 D．70海里
解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，
EF＝
＝＝70.
答案：D
5．(2013·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
A．20 m B．20 m
C．20(1＋) m D．30 m
解析：如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20 m，所以BM＝20 m．又在Rt△AMD中，
DM＝20 m，∠ADM＝30°，
∴AM＝DMtan30°＝(m)．
∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20(m)．
答案：A
6．(2013·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小( )
A. B．1
C. D．2
解析：如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理，得
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°
＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t
＝12 900t2－42 000t＋40 000.
当t＝时，DE最小.
答案：C
二、填空题
7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为__________m.
解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．
答案：5
8．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tanC＝__________.
解析：S△ABC＝acsinB＝，∴c＝4.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13，
∴cosC＝＝－，sinC＝，
∴tanC＝－＝－2.
答案：－2
9．据新华社报道，2011年8月，飓风“艾琳”在美国东海岸登陆．飓风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是______米．
解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，
∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．
答案：
三、解答题
10．(2013·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
解析：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝＝20.
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30(米)，所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．
11．如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解析：由题意，知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
于是DB＝＝
＝
＝＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×
＝900.
得CD＝30(海里)，故需要的时间t＝＝1(小时)，
即救援船到达D点需要1小时．
12．(2012·石家庄检测)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请说明理由．
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2×16×10cosC，①
在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.②
由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得cosC＝.
∵∠C为三角形的内角，∴C＝60°，
又∠C＝∠D，AD＝BD，
∴ABD是等边三角形，
故AB＝14，即A、B两点的距离为14.
(2)小李的设计使建造费用最低．
理由如下：
S△ABD＝AD·BDsinD，
S△ABC＝AC·BCsinC.
∵AD·BD＞AC·BC，且sinD＝sinC，
∴S△ABD＞S△ABC.
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低．
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