课时跟踪检测(四十九) 椭 圆
1．(2012·海淀模拟)2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分与不必要条件
2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
3．(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点M在椭圆上，,·,＝0，则M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D.
6．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
7．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．
8．椭圆＋＝1的两焦点F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________.
9．(2012·哈尔滨模拟)设F1， F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
10．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
11．(2013·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且,＝λ,(λ＞0)，定点A(－4,0)．
(1)求证：当λ＝1时，,⊥,；
(2)若当λ＝1时，有,·,＝，求椭圆C的方程．
12．(2012·陕西高考)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
1．(2012·长春模拟)以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|,|＝2|,|＝2|,|，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
2．(2012·太原模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2.给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a－a＝b－b；③＞；④a1－a2＜b1－b2.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
3．(2012·西城模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5._________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(四十九)
A级
1．B 2.B 3.C 4.B
5．选B 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.又e＞0，故所求的椭圆的离心率为.
6．选A 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点(2, )在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.
7．解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，根据椭圆定义知2a＝12，即a＝6，由＝，得c＝3，b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．解析：易得|PF1|＝＝＝1.又点P在椭圆上，于是有|PF1|＋|PF2|＝8，|PF2|＝8－|PF1|＝7.
答案：7
9．解析：∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15，
当P，M，F2三点共线时取等号．
答案：15
10．解：(1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，
又b2＝a2－c2＝4.
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由
得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x12)，
其离心率为，故＝，
解得a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，
得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入＋＝1中，
得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，
即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以
x＝.由＝2，得x＝，y＝.
将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
B级
1．选C 不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点．过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为，并设|,|＝2|,|＝2|,|＝2t，根据勾股定理可知，|,|2－|,|2＝|,|2－|,|2，得到c＝t，而a＝，
则e＝＝.
2．选C 由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a－a＝b－b，知②正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.
3．解：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，
得c＝1.
因为椭圆C的离心率为，
所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y并整理得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，
则x1＋x2＝.
所以x3＝＝，
y3＝k(x3－1)＝.
线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－.
在上述方程中，令x＝0，
得y0＝＝.
当k＜0时，＋4k≤－4；
当k＞0时，＋4k≥4.
所以－≤y0＜0或0＜y0≤.
综上，y0的取值范围是.
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