5.1 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a

b|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=a
b
答案 B 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b； 若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案　A 3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)． A.＋＝0 B.
＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 解析　如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2?P是AC的中点， ∴＋＝0.
答案　B 4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为(　　) A．－3 B．2 C．4 D．－6 解析 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)， ∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6. 答案 D 5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2. ∴∥，又与不平行， ∴四边形ABCD是梯形． 答案　C 6．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝(　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 解析　∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心， ∴＋＝3，∴m＝3. 答
案　B 7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且
＋
＋
＝0，则△ABC的内角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由
＋
＋
＝0得
＋
＝
，由O为△ABC外接圆的圆
心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°. 答案：A 二、填空题 8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若
－3
＋2
＝0，则＝________. 解析：由
－3
＋2
＝0，得
－

＝2(
－
)， 即
＝2
，于是＝
2. 答案：2 9．给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向
量，则点A、B、C、D必在同一条直线上． 其中不正确的个数为
________． 解析　①中，∵向量与为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确． ②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误． ③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正
确． ④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误． ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案　3 10.已知向量
夹角为
，且
；则
. 解析
答案
11．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________． 解析 由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)， ∴＝(1－λ)＋λ， ∴λ＝， ∴＝. 答案  12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________． 解析　(等价转化法)＋－2＝－＋－＝＋， －＝＝－， ∴|＋|＝|－|. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案　直角三角形 【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题 13．
如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上
的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，.
解析　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)， ＝(a＋b)，＝(a＋b)． 14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a
与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？ 解析　设
a－tb＝λ(λ∈R)， 化简整理得a＋b＝0， ∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有 ∴ 故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上． 15．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，
＝
，
＝a，
＝b. (1)用a，b表示向量
、
、
、
、
； (2)求证：B、E、F三点共线． 解析：(1)延长AD到G， 使
＝
， 连结BG、CG，得到?ABGC， 所以
＝a＋b，
＝
＝(a＋b)，
＝
＝(a＋b)，
＝
＝b，
＝
－
＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝
－
＝b－a＝(b－2a)． (2)证明：由(1)可知
＝
， 所以B、E、F三点共线． 16．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1， ∴＝m＋n＝m＋(1－m)， 即－＝m(－)． ∴＝m，而≠0，且m∈R. 故与共线，又，有公共点B. ∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)． 即＝λ＋(1－λ). 由＝m＋n. 故m＋n＝λ＋(1－λ). 又O，A，B不共线，∴，
不共线． 由平面向量基本定理得 ∴m＋n＝1.

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