巩固双基,提升能力
一、选择题
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)．由a＋b与a共线，得1×(k＋2)－3×k＝0，由此解得k＝1，a·b＝2＋2k＝4.
答案：D
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝( )
A．b－a B．b＋a
C．a＋b D．a－b
解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
答案：A
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝( )
A. B.
C．1 D．2
解析：可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.
答案： B
4．已知向量a＝(1,1－cosθ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：∵a∥b，∴(1－cosθ)(1＋cosθ)＝，即sin2θ＝，又∵θ为锐角，∴sinθ＝，θ＝45°.
答案：B
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则＝( )
解析：根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D，
∴＝(－1,0)，＝(－1,1)，
＝，
令＝λ＋μ，
则有得
∴＝－a＋b.
答案：B
6．(2013·合肥质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：m∥n?(b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA?sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝.
答案：C
二、填空题
7．(2013·长治二中第三次练考)若A(0,1)，B(k,3)，C(k＋6,0)三点共线，则k＝__________.
解析：＝(k,2)，＝(6，－3)，由已知A、B、C三点共线，故－3k＝12，k＝－4.
答案：－4
8．已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是__________．
解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，
∴a与b不共线，即2m－3≠3m.
∴m≠－3.
答案：{m|m∈R，m≠－3}
9．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝__________.
解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
得解得
∴M∩N＝{(－2，－2)}.
答案：{(－2，－2)}
三、解答题
10．已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0.延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量、.
解析：∵＝－＝－a，＝－＝－b，
又3＋4＋5＝0，
∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，
化简，得＝a＋b.
设＝t(t∈R)，则＝ta＋tb.①
又设＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得
＝k(b－a)．而＝＋＝a＋，
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②，得t＝1－k，t＝k，解得t＝.
代入①，有＝a＋b.
11．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b，问是否存在k、t，使x∥y，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：x＝a＋(t2＋1)b＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)
＝(－2t2－1，t2＋3)，
y＝－a＋b
＝－(1,2)＋ (－2,1)
＝.
假设存在正实数k，t，使x∥y，则
(－2t2－1)－(t2＋3)＝0.
化简，得＋＝0，即t3＋t＋k＝0.
∵k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，
∴不存在这样的正实数k，t，使x∥y.
12．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．
解析：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有4t2＜0,2t1＋4t2≠0，故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，
∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．
(3)当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2)．
又∵＝(4,4)，⊥，
∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2.
∴＝(－a2，a2)．
又∵||＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝|a2－1|.
∵S△ABM＝12，
∴||·d＝×4×|a2－1|＝12，
解得a＝±2，故所求a的值为±2.
【点此下载】