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课时提能演练(二十九)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.(预测题）在等差数列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于( )
(A)13 (B)26 (C)52 (D)156
2.（2011·宁波模拟）若等差数列{an}的前5项和为S5=25，且a2=3,则a7=( )
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
3.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
4.已知数列an= 则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=( )
(A)4 800 (B)4 900 (C)5 000 (D)5 100
5.已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0；Sn是数列{an}的前n项和，则( )
(A)S5>S6 (B)S5108;
(2)若ak=bk=0,且数列a1,a2,…,ak,bk+1,bk+2,…,b14的前n项和Sn满足S14=2Sk,求数列{an},{bn}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，令cn=,fn=,问不等式cnfn+1≤cn+fn是否对n∈N*恒成立？请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,
∴a4+a10=4.
∴S13==26.
2.【解析】选B.由已知得
∴
∴a7=a1+6d=1+6×2=13.
3.【解析】选C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=2a4,所以a4=4,根据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28,故选C.
4.【解析】选C.由题意得a1+a2+a3+a4+…+a99+a100
=0+2+2+4+4+…+98+98+100
=2(2+4+6+…+98)+100
=2×+100=5 000.
5.【解题指南】根据公差d<0和|a3|=|a9|可知a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.
【解析】选D.∵d<0,|a3|=|a9|,
∴a3>0,a9<0,
且a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0;∴S5=S6.
6.【解析】选D.∵a1+a100=a50+a51=0,且d<0，
∴a50>0,a51<0,
∴当n=50时，Sn取最大值.
7.【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
则解得
∴an=19+(n-1)×(-2)=21-2n.
答案:an=21-2n
8.【解析】∵，
∴，
∴.
答案：
【方法技巧】巧解前n项和的比值问题
关于前n项和的比值问题，一般可采用前n项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时，Sn=na中，也可利用首项与公差的关系求解.另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列{an}与{bn}都是等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则.
【变式备选】等差数列{an}中，若,则=______.
【解析】=1.
答案：1
9.【解题指南】解答本题的关键是对条件“-an-1-an+1=0”的应用，可根据各项下标的关系得到an-1+an+1=2an,从而解方程可求an.
【解析】∵an-1+an+1=2an,
∴-an-1-an+1= -2an=0,
解得an=2或an=0(舍）.
∴S2 012=2×2 012=4 024.
答案：4 024
10.【证明】∵an+1=2an+2n，
∴bn+1= =bn+1，
∴bn+1-bn=1.
又b1=a1=1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
11.【解析】(1)由题意得S11=11×5=55.
∴11×(-5)+d=55，
∴d=2.
(2)∵Sn=n×(-5)+×2=n2-6n＞0,
又n∈N*,
∴n＞6,
故使Sn＞0成立的最小正整数n为7.
【探究创新】
【解析】(1)依题意，
［18+（m-1)×18］2=36+(m+14-14)d2-45,
即(18m)2=md2-9,
即d2=182m+≥=108;
等号成立的条件为182m=,即m=,
∵m∈N*,∴等号不成立，∴原命题成立.
(2)由S14=2Sk得：Sk=S14-Sk,
即：,
则9k=18×(15-k),得k=10，
d1=,
则an=-2n+20,bn=9n-90;
(3)不等式恒成立.在(2)的条件下，cn=,fn=,
要使cnfn+1≤cn+fn,即要满足（cn-1)(fn-1)≤0,
又cn=220-2n=410-n,fn=29n-90=512n-10,
∴数列{cn}单调递减；{fn}单调递增,
①当正整数n≤9时，cn-1>0,fn-1<0,
(cn-1)(fn-1)<0;
②当正整数n≥11时，cn-1<0,fn-1>0,
(cn-1)(fn-1)<0;
③当正整数n=10时，cn-1=0,fn-1=0,
(cn-1)(fn-1)=0,
综上所述，对n∈N*,不等式cnfn+1≤cn+fn恒成立.
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