课时提能演练(三十一)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.(2012·北京模拟）在等差数列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于( )
（A）13 （B）26 （C）52 （D）156
2.(2012?岳阳模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5＝4，S7＝21，则a7的值为( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
3.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
4.已知数列则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=( )
（A）4 800 （B）4 900 （C）5 000 （D）5 100
5.已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0；Sn是数列{an}的前n项和，则( )
（A）S5>S6 (B)S5108;
(2)若ak=bk=0,且数列a1,a2,…,ak,bk+1,bk+2,…,b14的前n项和Sn满足S14=2Sk,求数列{an},{bn}的通项公式；
(3)在（2）的条件下，令问不等式cnfn+1≤cn+fn是否对n∈N*恒成立？请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,∴a4+a10=4.
2.【解析】选D.∵S7=3(a2+a5)+a7,
∴21=3×4+a7，故a7=9.
3.【解析】选C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=2a4,所以a4=4,根据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28,故选C.
4.【解析】选C.由题意得a1+a2+a3+a4+…+a99+a100
=0+2+2+4+4+…+98+98+100
=2(2+4+6+…+98)+100
=2×+100=5 000.
5.【解题指南】根据公差d<0和|a3|=|a9|可知a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.
【解析】选D.∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0,
且a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0;
∴S5=S6.
6.【解析】选D.∵a1+a100=a50+a51=0,且d<0，
∴a50>0,a51<0,∴当n=50时，Sn取最大值.
7.【解析】∵
∴.
答案：
【方法技巧】巧解前n项和的比值问题
关于前n项和的比值问题，一般可采用前n项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时，Sn=na中，也可利用首项与公差的关系求解.另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列{an}与{bn}都是等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则.
【变式备选】等差数列{an}中，若则=________.
【解析】.
答案：1
8.【解题指南】解答本题的关键是对条件“”的应用，可根据各项下标的关系得到an-1+an+1=2an,从而解方程可求an.
【解析】∵an-1+an+1=2an,
∴
解得an=2或an=0(舍）.
∴S2 012=2×2 012=4 024.
答案：4 024
9.【解析】∵,
∴.
∴,
∴解得a1=1或a1=-3(舍）.
∴an=1+(n-1)×1=n.
答案：an=n(n∈N*)
10. 【解析】(1)设{bn}的公比为q，
∵,
∴an=a1+(n-1)log3q.
所以{an}是以log3q为公差的等差数列.
(2)∵a8+a13＝m,
所以由等差数列性质得a1+a20=a8+a13=m,
11.【解析】(1)a1=1,a2=1,a3=3,a4=1,a5=5,a6=3.
(2)第1个5出现在第5项，
第2个5出现在第2×5＝10项，
第3个5出现在第22×5＝20项，
第4个5出现在第23×5=40项，依次类推.
第10个5是该数列的第29×5＝2 560项.
(3)Tn=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+
=(a1+a3+a5+…+)+(a2+a4+a6+…+ )
=［1+3+5+7+…+(2n-1)］+(a1+a2+a3+…)
=4n-1+Tn-1(n≥2)
用累加法得：Tn=T1+4+42+…+4n-1
=(4n+2)(n≥2).
当n=1时，T1=2=(4+2).
∴对一切正整数n都有Tn=(4n+2).
【探究创新】
【解析】(1)依题意，［18+（m-1)×18］2=36+(m+14-14)d2-45,
即(18m)2=md2-9,即d2=182m+≥;
等号成立的条件为182m=,即
∵m∈N*,∴等号不成立，∴原命题成立.
（2）由S14=2Sk得：Sk=S14-Sk,
即：,
则9k=18×(15-k),得k=10，
,
则an=-2n+20,bn=9n-90;
(3)不等式恒成立.在（2）的条件下，,
要使cnfn+1≤cn+fn,即要满足（cn-1)(fn-1)≤0,
又cn=220-2n=410-n,fn=29n-90=512n-10,
∴数列{cn}单调递减；{fn}单调递增,
①当正整数n≤9时，cn-1>0,fn-1<0,(cn-1)(fn-1)<0;
②当正整数n≥11时，cn-1<0,fn-1>0,(cn-1)(fn-1)<0;
③当正整数n=10时，cn-1=0,fn-1=0,(cn-1)(fn-1)=0,
综上所述，对n∈N*,不等式cnfn+1≤cn+fn恒成立.
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