5.2 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( )
A．(6,3) B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．
答案：B
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )．
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析 由题意得a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．
答案 C
3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )．
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案 C
4. 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
解析 设P(x，y)，则由||＝2||，得＝2或＝－2，＝(2,2)，＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，
P(1，－1)．
答案 C
5.若向量=（1,2），=（3,4），则=( )
A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2)
答案 A
解析 因为=+=,所以选A.
6．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )．
A．[－2,2] B．[－2,3]
C．[－3,2] D．[－3,3]
解析 因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1
可转化为由图可得其对应的可行域为边长为
，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]．
答案 D
7．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2 α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是( )．
A．[－6,1] B．[4,8]
C．(－∞，1] D．[－1,6]
解析 由a＝2b，得
由λ2－m＝cos2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得
－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m－2，
则－2≤4(m－1)2－m≤2，∴
解得≤m≤2，而＝＝2－，
故－6≤≤1，即选A.
答案 A
二、填空题
8. 设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析 ∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.
答案 2
9．若三点A(2,2)，B(a,0)， C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
10．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
解析 设a＝λb(λ＜0)，则|a|＝|λ||b|，
∴|λ|＝，
又|b|＝，|a|＝2.
∴|λ|＝2，∴λ＝－2.
∴a＝λb＝－2(2,1)＝(－4，－2)．
答案 (－4，－2)
11．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析 由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得所以
答案 －
12．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析 由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．
答案 (0，－2)
三、解答题
13．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C，D的坐标和的坐标．
解析 设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
因为＝，＝－，所以有
和
解得和
所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而＝(－2，－4)．
14．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解析：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A、B、C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
15．已知向量＝(3,4)，＝(6，－3)，O＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，求实数m满足的条件．
解析 ∵＝－＝(3，－7)，
＝－＝(2－m，－7－m)，
又A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即，不共线，
∴3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，
得m≠－，故m应满足m≠－.
16．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析 (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；若P在y轴上，只需1＋3t＝0，∴t＝－；若P在第二象限，则
∴－＜t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若OABP为平行四边形，则＝，∵无解．所以四边形OABP不能成为平行四边形．
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