课时提能演练(三十一)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·宝鸡模拟)在各项为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝，则－是数列{an}的( )
(A)第3项 (B)第4项 (C)第5项 (D)第6项
2.(2012·合肥模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则a5＋a6＋a7＋a8＝( )
(A)10 (B)11 (C)12 (D)14
3.(2012·保定模拟)等比数列{an}中，若a4a7＝1，a7a8＝16，则a6a7等于( )
(A)4 (B)－4 (C)±4 (D)
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )
(A) (B) (C) (D)
5.在公比q＜1的等比数列{an}中，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )
(A) (B) (C) (D)
6.(2012·赣州模拟)已知正项等比数列{an}满足：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 011＝2 011，则log2(a1＋a2 011)的最小值为( )
(A)1 (B) (C)2 (D)log22 011
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(预测题)等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8·a15＝ .
8.等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝ .
9.(易错题)数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝ .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列.
11.(2012·西安模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＝32(＋).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an2＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
【探究创新】
(16分)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N＋).
(1)求Sn；
(2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，则求出数列{bn}的通项公式；若不存在，则说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.∵2an＝3an＋1，∴＝，
∴{an}是等比数列，公比q＝，
∵a2a5＝，即a1q·a1q4＝，∴a1＝－.
令a1qn－1＝－，
∴－·qn－1＝－，
∴()n－1＝，∴n＝5.
2.【解析】选C.由题意知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
∴a5＋a6＝2×2＝4，a7＋a8＝4×2＝8.
∴a5＋a6＋a7＋a8＝4＋8＝12.
3.【解析】选A.∵a4a7＝1，a7a8＝16，
∴q4＝16，∴q2＝4，∴a6a7＝a4a7q2＝4.
4.【解析】选D.数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－2，＝q2＝4，＝＝；＝q＝－2；＝，其值与n有关，故选D.
5.【解题指南】＝，故只需求出q2即可，利用a2·a8＝a4·a6可先求出a4·a6，再求q2.
【解析】选D.∵a2a8＝a4a6＝6，a4＋a6＝5，
∴a4，a6是方程x2－5x＋6＝0的两实根.
又公比q＜1，∴a4＝3，a6＝2，
∴q2＝，∴＝＝.
6.【解析】选C.log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 011
＝log2(a1·a2·…·a2 011)＝2 011.
又∵a1·a2·…·a2 011＝(a1a2 011)1 005·a1 006
＝(a1a2 011)1 005·＝，
∴＝22 011，∴a1a2 011＝4，
log2(a1＋a2 011)≥log22＝2.
7.【解析】∵等比数列{an}是递减数列，
∴a1>0,01.∴q必为正值.
∴数列{an}的各项都同号.
又T13＝4T9，∴a10·a11·a12·a13＝4＝(a8·a15)2，
∴a8·a15＝2.
答案：2
8.【解析】∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，∴q2＋q－6＝0，
又q＞0，∴q＝2，由a2＝a1q＝1得a1＝，
∴S4＝＝.
答案：
9.【解析】an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝＝2n－1(n≥2)，a1＝1适合上式，故an＝2n－1.
答案：2n－1
【误区警示】解答此类题目时，易忽视对n＝1时的验证，可能造成错解.出现错误的原因是对“累加法”求通项公式理解不到位.
10.【解析】(1)设等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意得，a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去).
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：bn＝×2n－1＝5×2n－3.
(2)数列{bn}的前n项和Sn＝
＝5×2n－2－，即Sn＋＝5×2n－2，
所以S1＋＝，＝＝2.
因此数列{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列.
11.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则an＝a1qn－1，且an>0.
由已知得，
化简得，
即
又∵a1>0，q>0.
∴，∴an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝an2＋log2an＝4n－1＋n－1.
∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)
＝＋＝＋.
【探究创新】
【解析】(1)因为Sn＝Sn－1＋2n，所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N＋成立，
即an＝2n对n≥2成立，又a1＝S1＝2·1，所以an＝2n对n∈N＋成立，
所以an＋1－an＝2对n∈N＋成立，所以{an}是等差数列，所以有Sn＝·n＝n2＋n，n∈N＋.
(2)存在.
由(1)，an＝2n，对n∈N＋成立，
所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2，
所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，则＝＝3，
所以存在以b1＝2为首项，公比为3的等比数列{bn}，
其通项公式为bn＝2·3n－1.
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