5.3 平面向量的数量积
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
解析 ∵a·c＝a·
＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.
答案 D
3. 设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ）
A B C .0 D.-1
解析 正确的是C.
答案C
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )．
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析 设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos θ＝＝－，
∴|a|cos θ＝6×＝－4.
答案 A
5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )．
A.－1 B．1 C. D．2
解析 由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案 B
6．已知非零向量a、b满足|a|＝|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不相等的实根，∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即a·b＜|a|2，∵cos〈a，b〉＝，|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＜＝，∵0≤〈a，b〉≤π，
∴＜〈a，b〉≤π.
答案 D
7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )．
A.·
B.·
C.·
D.·
解析 由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，
故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，
则·＝||||cos 30°＝a2，·＝||||cos 60°＝a2.
答案 A
二、填空题
8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．
解析 ∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.
答案
9.已知向量, ，若，则的值为 ．
解析
答案
10．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
解析 设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得
(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|2＋(k－1)|a||b|cos θ－|b|2＝0，(k－1)(1＋cos θ)＝0.
又1＋cos θ≠0，∴k－1＝0，k＝1.
答案 1
11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析 由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0, 化简可求得k＝.
答案
12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．
解析：||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，(＋)·＝2·＝||2＝4.
答案：4
三、解答题
13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的投影．
解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0.
(2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.
∴|a|cos θ＝＝＝－＝－.
14．如图所示，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
解析 (1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝－＝(－x－4,2－y)．
又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，又⊥，∴·＝0.
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0，
∴y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
∴SABCD＝||·||＝16；
当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴SABCD＝||·||＝16.
15．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．
解析 由题意知△ABC为直角三角形，⊥，
∴·＝0，cos∠BAC＝，
cos∠BCA＝，
∴和夹角的余弦值为－，
和夹角的余弦值为－，
∴·＋·＋·
＝20×＋15×＝－25.
16．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与向量e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
思路分析 转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0
且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．
解析 由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0.
得－7＜t＜－.
设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜0)．
∴∴2t2＝7.
∴t＝－，此时λ＝－.
即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴夹角为钝角时，t的取值范围是
∪
【点评】 本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.
【点此下载】