巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·会昌中学月考)在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：由＝1得||cosA＝1，由＝2得||cosB＝2，∴||＝||cosA＋||cosB＝3.
答案：B
2．(2013·龙岩一中月考)设x，y∈R，i，j是直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若a＝xi＋(y＋3)j，b＝xi＋(y－3)j且|a|＋|b|＝6，则点M(x，y)的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．线段 D．射线
解析：由a＝xi＋(y＋3)j，b＝xi＋(y－3)j可得
a＝(x，y＋3)，b＝(x，y－3)．
∵|a|＋|b|＝6，∴＋＝6，即点(x，y)到点(0，－3)、(0,3)的距离和为6，故轨迹为线段．
答案：C
3．(2013·深圳月考)河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 ( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．46 m/s D．12 m/s
解析：河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.
∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝＝＝＝2.
答案：B
4．(2013·微山一中月考)若?k∈R，|－k|≥||恒成立，则△ABC的形状一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
解析：∵2－2＝(＋)·(－)＝(＋＋)·(＋)＝2·－2，
故?k∈R，|－k|≥||恒成立可以转化为：
?k∈R，∴k22－2k·＋2·－2≥0恒成立，
令f(k)＝k22－2k·＋2·－2，f(x)≥0恒成立，则Δ≤0.
∴(·)2－2(2·－2)≤0，
∴a2c2cos2B－a2(2accosB－a2)≤0，
由余弦定理得：c2cos2B－c2＋b2≤0，
由正弦定理得：sin2C≥1，∴C＝.
答案：B
5．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1?θ∈
p2：|a＋b|＞1?θ∈
p3：|a－b|＞1?θ∈
p4：|a－b|＞1?θ∈
其中的真命题是( )
A．p1，p4 B．p1，p3
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：由|a＋b|＞1可得：a2＋2a·b＋b2＞1，
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b＞－，故θ∈.
当θ∈时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1；由|a－b|＞1，可得：a2－2a·b＋b2＞1，
∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b＜，
故θ∈，反之也成立．
答案：A
6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为( )
A. B.
C. D.
解析：f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，即f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a|2－4a·b＞0?cos〈a， b〉＜.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈.
答案：C
二、填空题
7．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是__________．
解析：以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则＝(，0)，＝(，1)，设F(t,2)(0≤t≤)，＝(t,2)，∵·＝t＝，∴t＝1，所以·＝(，1)·(1－， 2)＝.
答案：
8．(2012·上海)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是__________．
解析：如图，令＝t，则0≤t≤1，
＝＋＝＋t，
＝＋＝＋(1－t)，
∴·＝·＋t||2＋(1－t)||2＋(t－t2)·＝1＋t＋4(1－t)＋t－t2＝5－2t－t2＝6－(t＋1)2.
∵0≤t≤1，∴2≤·≤5.
答案：[2,5]
9．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么·的最小值为__________．
解析：如图所示，设PA＝PB＝x(x＞0)，∠APO＝α，
则∠APB＝2α，PO＝，sinα＝，·＝||·||cos2α＝x2(1－2sin2α)＝＝.
令·＝y，则y＝，即x4－(1＋y)x2－y＝0.
∵x2是实数，
∴Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)≥0，y2＋6y＋1≥0，解得y≤－3－2或y≥－3＋2.
∴(·)min＝－3＋2.此时x＝.
答案：－3＋2
三、解答题
10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若·＝·＝k(k∈R)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若k＝2，求b的值．
解析：(1)∵·＝cbcosA，·＝bacosC，
∴bccosA＝abcosC，
根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0，
∴∠A＝∠C，即a＝c，则△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得·＝bccosA＝bc·＝，·＝k＝2，即＝2，解得b＝2.
11．(2013·资阳一中月考)已知向量a＝(x，－1)，b＝(1,2)，c＝，其中x∈R.
(1)若(a－2b)∥c，求x的值；
(2)设p：x2＋a·b＜0，q：(x－m)[x－(m＋1)]＞0(m∈R)，若p是q的充分非必要条件，求实数m的范围．
解析：(1)∵a－2b＝(x－2，－5)，c＝，
∵(a－2b)∥c，
∴x(x－2)＝－5×＝3，即x2－2x－3＝0，
∴x＝－1或3.
(2)由x2＋a·b＜0得x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1，
故p：－2＜x＜1.
由(x－m)[x－(m＋1)]＞0，得q：x＜m或x＞m＋1，
由p是q的充分非必要条件，得m≥1或m＋1≤－2，即m≥1或m≤－3，
故实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
12．已知向量a＝，b＝，θ∈.
(1)求的最大值和最小值；
(2)若|ka＋b|＝|a－kb|(k∈R)，求k的取值范围．
解析：(1)a·b＝cosθcos－sinsin＝cos2θ.
|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos2θ＝4cos2θ，
∴|a＋b|＝2cosθ，θ∈，
∴＝＝.
令t＝cosθ，t∈，
则y＝＝＝t－，t∈，
y′＝1＋＞0，∴y＝t－在上单调递增．
∴ymax＝1－＝，ymin＝－＝－.
(2)由|ka＋b|＝|a－kb|有(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
即k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2－2ka·b＋k2b2)，
又|a|＝|b|＝1，
∴k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，∴a·b＝.
由a·b＝cos2θ，θ∈，有－≤a·b≤1，
∴－≤≤1.
∴∴
可知
即k＝－1或2－≤k≤2＋.
综上所述，k的取值范围为{k|k＝－1或2－≤k≤2＋}．
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