课时提能演练(三十三)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·聊城模拟)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8＝( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
2.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )
(A)10秒钟 (B)13秒钟
(C)15秒钟 (D)20秒钟
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N＋)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )
(A)(2,4) (B)(－，－)
(C)(－，－1) (D)(－1，－1)
4.(2012·滁州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a2－1)3＋2 011(a2－1)＝sin，(a2 010－1)3＋2 011(a2 010－1)＝cos，则S2 011等于( )
(A)4 022 (B)0 (C)2 011 (D)2 011
5.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1＋b1＝5，a1>b1，a1、b1∈N＋(n∈N＋)，则数列{}的前10项的和等于( )
(A)65 (B)75 (C)85 (D)95
6.(2012·合肥模拟)各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，a3，a1成等差数列，则＝( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7. (2012·温州模拟)设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和Sn等于 .
8.(易错题)已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立.数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N＋)，且a1＝2，则该数列的通项公式为an＝ .
9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·宝鸡模拟)已知等差数列{an}，a3＝3，a2＋a7＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n，求数列{bn}的前n项和.
11.(预测题)已知数列{an}，其前n项和为Sn＝n2＋n(n∈N＋).
(1)求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是等差数列；
(2)如果数列{bn}满足an＝log2bn，请证明数列{bn}是等比数列；
(3)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切n∈N＋都成立的最大正整数k的值.
【探究创新】
(16分)设数列{an}(n＝1,2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
(1)若a1＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”.
(2)若an＝2n－7(n∈N＋)，试判断数列{an}是否是“封闭数列”，为什么？
答案解析
1.【解析】选D.∵数列{an}是等差数列，
∴a3＋a11＝2a7，
由2a3－a＋2a11＝0，得4a7－a＝0，
又an≠0，∴a7＝4，∴b6·b8＝b＝42＝16.
2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x＋×2＝240，
即x2＋x－240＝0.解得x＝15或x＝－16(舍去).
3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量，与选项对比即可.
【解析】选B.由S2＝10，S5＝55，得
2a1＋d＝10,5a1＋10d＝55，
解得a1＝3，d＝4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有(－，－)与(1,4)平行，故选B.
4.【解析】选C.由于＝670π＋，＝335π＋，sin＝sin＝，cos＝－cos＝－.记f(x)＝x3＋2 011x，易知函数f(x)是奇函数，且f′(x)＝3x2＋2 011≥2 011>0，因此f(x)是R上的增函数.依题意有f(a2－1)＋f(a2 010－1)＝0，于是有f(a2－1)＝f(1－a2 010)，a2－1＝1－a2 010，a2＋a2 010＝2，S2 011＝＝＝2 011，选C.
5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得
an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1，
∴＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n－1)－1
＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3，
∴数列{}也是等差数列，且前10项和为＝85.
【方法技巧】构造等差数列求解
在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.
(1)由递推公式构造等差数列
一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an＋1＝2an＋3·2n＋1的特点是除以2n＋1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{}.
(2)由前n项和Sn构造等差数列.
(3)由并项、拆项构造等差数列.
6.【解题指南】由a2，a3，a1成等差数列可求公比q，把转化为关于q的式子.
【解析】选B.由题意知，a3＝a2＋a1，∴a1q2＝a1q＋a1，
∴q2－q－1＝0，又q＞0，∴q＝，
∴＝＝＝＝.
7.【解析】∵y′＝nxn－1－(n＋1)xn，∴y′|x＝2＝n·2n－1－(n＋1)·2n
＝－n·2n－1－2n，
∴切线方程为y＋2n＝(－n·2n－1－2n)(x－2)，
令x＝0得y＝(n＋1)·2n，即an＝(n＋1)·2n，
∴＝2n，∴Sn＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
8.【解析】令x＝2，y＝2n－1(n∈N＋且n≥2)，则f(x·y)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋
2n－1f(2)，即f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1a1，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列{}为等差数列，由此可得an＝n·2n，且a1＝2符合上式，则数列{an}的通项公式为an＝n·2n.
答案：n·2n
9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1，a2，…，a10，
则an＝Sn＋1，
则a1＝2，an－an－1＝(Sn＋1)－(Sn－1＋1)
＝(Sn－Sn－1)＝an，即an＝2an－1，
因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S10＝＝2 046.
答案：2 046
10.【解析】(1)由已知a2＋a7＝12可得a4＋a5＝12，
又因为a3＝3，所以a3＋a4＋a5＝15，
所以a4＝5，∴d＝a4－a3＝2，
∴an＝2n－3.
(2)由(1)可知bn＝n22n－3，设数列{bn}的前n项和为Tn.
Tn＝1·2－1＋2·21＋3·23＋…＋n·22n－3 ①
4Tn＝1·21＋2·23＋…＋(n－1)22n－3＋n·22n－1 ②
①－②可得
－3Tn＝2－1＋21＋23＋25＋…＋22n－3－n·22n－1
＝－n·22n－1，
∴Tn＝＋＝.
11.【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[n2－(n－1)2]＋[n－(n－1)]＝(2n－1)＋＝3n＋2，
又a1＝5满足上式，∴an＝3n＋2(n∈N＋).
∵an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]
＝3(n≥2，n∈N＋)，
∴数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列.
(2)由已知得bn＝(n∈N＋)，
∵＝＝＝23＝8(n∈N＋)，
又b1＝＝32，
∴数列{bn}是以32为首项，8为公比的等比数列.
(3)cn＝＝
＝(－)，
∴Tn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.
∵Tn＋1－Tn＝>0(n∈N＋)，
∴(Tn)min＝T1＝.
∴>，解得k<19，因为k是正整数，∴kmax＝18.
【变式备选】已知等差数列{an}满足：an＋1＞an(n∈N＋)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn.
(2)设Tn＝＋＋…＋(n∈N＋)，若Tn＋－＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.
【解析】(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比.
由题意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上1,1,3后得2,2＋d,4＋2d是等比数列{bn}的前三项，
∴(2＋d)2＝2(4＋2d)?d＝±2.
∵an＋1＞an，∴d＞0.
∴d＝2，∴an＝2n－1(n∈N＋).
由此可得b1＝2，b2＝4，q＝2，
∴bn＝2n(n∈N＋).
(2)Tn＝＋＋…＋
＝＋＋＋…＋ ①
当n＝1时，T1＝；
当n≥2时，Tn＝＋＋＋…＋ ②
①－②，得Tn＝＋2×(＋＋…＋)－.
∴Tn＝1＋－＝3－－
＝3－.
∴Tn＋－＝3－＜3.
∵(3－)∈[2,3)，
∴满足条件Tn＋－＜c(c∈Z)恒成立的c的最小整数值为3.
【探究创新】
【解析】(1)an=4+(n-1)·2=2n+2,
对任意的m,n∈N+,有am+an=(2m+2)+(2n+2)
=2(m+n+1)+2,
∵m+n+1∈N+于是，令p=m+n+1,则有ap=2p+2∈{an}.
∴该数列是“封闭数列”.
(2)∵a1=-5,a2=-3,∴a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解得n=-N+,所以数列{an}不是封闭数列.
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