【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：5数列
一、选择题
1 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为是递减数列，所以当时，有。当时，，即。且，即，解得。综上，选D.
2．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，解得，所使用，解得，选C.
3 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知正项数列中，，，，则等于 （ ）
A．16 B．8 C． D．4
【答案】D
【解析】由可知数列是等差数列，且以为首项，公差，所以数列的通项公式为，所以，即。选D.
4 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为成等比数列，所以，即，即，所以，选C.
二、填空题
5（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①；②若，；③，
则 ， ．
【答案】
【解析】根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。
6（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，，即。两边平方得，即，即，即，即数列的任意两项之和为，所以，即。所以，解得或（舍去）。
7．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______．
【答案】6
【解析】设公比为，因为，所以，则，所以，又，即，所以。
8（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.
【答案】
【解析】由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以
9．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .
【答案】
【解析】因为是等差数列，所以。是等比数列，所以，因为，所以，所以。
10．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
【答案】；
【解析】因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.
11.（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____.
【答案】
【解析】由可得，所以。所以。由得，令，得，即数列是公比为2的等比数列，所以。
12．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在等比数列中，，则公比 ，
【答案】
【解析】在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。
三、解答题
13.．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于．
(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；
(2) 求证：；
(3) 已知数集具有性质．证明：数列是等差数列．
【答案】：由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；由于、、、、、、、、、都属于集合，所以该数集具有性质． …………………………………………4分
具有性质，所以与中至少有一个属于
由，有，故
，故
，故
由具有性质知，
又，
，，…，，
从而
故 ……………………8分
由(2)可知，
…………………………①
由知，，，…，，均不属于
由具有性质，，，…，，均属于
，，，…，
即…………………………②
由①②可知
故构成等差数列． …………………………………13分
14．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设，，…是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足的整数，数列，，… 由 确定。记
(Ⅰ)当时，求M的值；
(Ⅱ)求M的最小值及相应的k的值
【答案】
15．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知为等比数列，其前项和为，且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）当时，.………………………………………1分
当时，.…………………………………………………3分
因为是等比数列，
所以，即..……………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
则. ①
. ②
①-②得 …………………9分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
16.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知实数组成的数组满足条件：
①； ②.
(Ⅰ) 当时，求，的值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设,且，
求证：.
【答案】(Ⅰ)解：
由（1）得，再由（2）知，且.
当时，.得，所以……………………………2分
当时，同理得………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：当时，
由已知,.
所以
.………………………………………………9分
（Ⅲ）证明：因为，且.
所以,
即 .……………………………11分
)
.……………………………………………………………14分
17.（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）数列{}中，，，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)∴
∴为常数列，∴{an}是以为首项的等差数列，
设，,∴，∴．
(2)∵，令，得．
当时，；当时，；当时，．
∴当时，
，．
当时，．
∴
18．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，
求证：对任意的，.
【答案】（Ⅰ）解：因为是单调递增数列，
所以，.
令，，，
所以. ………………4分
（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.
用反证法证明：
假设数列是公比为的等比数列，，.
因为单调递增，所以.
因为，都成立.
所以， ①
因为，所以，使得当时，.
因为.
所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.………9分
（Ⅲ）证明：观察： ，，，…，猜想：.
用数学归纳法证明：
（1）当时，成立；
（2）假设当时，成立；
当时，
所以.
根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.
由已知得，.
所以.
所以当时，.
因为.
所以对任意，.
对任意，存在，使得，
因为数列{}单调递增，
所以，.
因为，
所以. ………………14分
19.（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）请写出一个，使得；
（Ⅱ）是否存在，使得？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．
【答案】（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
………………3分
（Ⅱ）解：不存在，使得． ………………4分
证明如下：
假设存在，使得．
因为， ，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个， 个，从而． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②
①、②相矛盾，从而不存在，使得． ………………8分
（Ⅲ）解：记这个实数之积为．
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有．
从而有． ③ ………………10分
注意到， ．
下面考虑，，，，，，，中的个数：
由③知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，
所以． ………………12分
对数表：，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以 ，．
所以．
由的任意性知，的取值集合为．……………13分
20.（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知为等差数列,且.
(I)求数列的前项和;
(II)求数列的前项和.
【答案】解:(I)设等差数列的公差为,
因为,
所以
解得,
所以,
因此
记数列的前项和为,
当时,,
当时,,
当时,
=,
又当时满足此式,
综上,
(II)记数列的前项和为.
则,
,
所以.
由(I)可知,,
所以,
故
21.（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.
(I)求数列的通项公式;
(II)设数列满足:,求数列的前项和公式;
(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围
【答案】解:(I)由题意可知,.
当时,,
当时,也满足上式,
所以
(II)由(I)可知,即.
当时,,①
当时,,所以,②
当时,,③
当时,,所以,④
当时(为偶数),,所以
以上个式子相加,得
.
又,
所以,当为偶数时,.
同理,当为奇数时,
,
所以,当为奇数时,
因此,当为偶数时,数列的前项和
;
当为奇数时,数列的前项和
.
故数列的前项和
(III)由(II)可知
①当为偶数时,,
所以随的增大而减小,
从而,当为偶数时,的最大值是.
②当为奇数时,,
所以随的增大而增大,
且.
综上,的最大值是1.
因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,
故实数的取值范围是
22（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．
记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：当时，．
【答案】（Ⅰ）解：， …… …………2分
； ………………………………4分
（Ⅱ）解：，． ………………………………6分
因为 ，
所以 ． ………………………………8分
（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明． …………9分
事实上，当时，
．
下面证明．
法一：对任何，
………………10分
……………………………………11分
…………………………12分
所以 ．…………………………13分
法二：对任何，
当时，
；………………………………………10分
当时，
综上，． ………………………………………13分
23.（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
直线B0A1的方程为y=x．
由 得，即点A1的坐标为（2，2），进而得．…..3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 ．（*） …………………………..5分
和均在曲线上，，
，代入（*）式得，
， ………………………………………………………..7分
数列是以为首项，2为公差的等差数列，
其通项公式为()． ……………………………………………....8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
， ……………………………………………………9分
，．
= =．….……………..…………10分
． ……………………….11分
（方法一）-=．
当n=1时不符合题意，
当n=2时，符合题意，
猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（）
观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n
以下用数学归纳法证明如下：
(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；
(2)假设n=k（k≥2）时，(k+1)<2k,
当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,
对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即<成立．
综上，满足题意的n的最小值为2. ……………………………………………..13分
（方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．
，
并且，
当时，.
24.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，
（Ⅰ）设数列，求；
（Ⅱ）若中最大的项为50， 比较的大小；
（Ⅲ）若，求函数的最小值．
【答案】 (I) 因为数列，
所以，
所以 …………………4分
(II) 一方面，，
根据的含义知，
故，即 ， ①
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50，所以当时必有，
所以
即当时，有； 当时，有 …9分
（III）设为中的最大值.
由（II）可以知道，的最小值为.
根据题意，
下面计算的值.
，
∵ ， ∴，
∴最小值为. ………………………………………….14分
25.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.
【答案】证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9
（Ⅱ）当时，数表为
此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. …………………………………………………………6分
猜想“特征值”为. ……………………………………………………………7分
（Ⅲ）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.
①当这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………10分
②当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，
当它们中的一个数与在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有.
综上可得. ………………………………………………………………13分
26.（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；
(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，
求证：；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（I）因为且，
即在是增函数，所以 ………………1分
而在不是增函数，而
当是增函数时，有，所以当不是增函数时，
综上，得 ………………4分
(Ⅱ) 因为，且
所以，
所以，
同理可证，
三式相加得
所以 ………………6分
因为所以
而， 所以
所以 ………………8分
(Ⅲ) 因为集合
所以，存在常数，使得 对成立
我们先证明对成立
假设使得，
记
因为是二阶比增函数，即是增函数.
所以当时，，所以
所以一定可以找到一个，使得
这与 对成立矛盾 ………………11分
对成立
所以，对成立
下面我们证明在上无解
假设存在，使得，
则因为是二阶增函数，即是增函数
一定存在，，这与上面证明的结果矛盾
所以在上无解
综上，我们得到，对成立
所以存在常数，使得，，有成立
又令，则对成立，
又有在上是增函数 ，所以，
而任取常数，总可以找到一个，使得时，有
所以的最小值 为0 ………………13分
27.（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的 “保三角形函数”，求的取值范围；
（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?
(解题中可用以下数据 :)
【答案】（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。
因为，显然有，
由得
解得.
所以当时，
是数列的保三角形函数. …………………3分
（Ⅱ）由，得，
两式相减得，所以 …………………5分
经检验，此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列. …… …8分
（Ⅲ）,
所以单调递减.
由题意知，①且②,
由①得，解得,
由②得，解得.
即数列最多有26项. …… ……13分
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