课时跟踪检测(五十一) 抛 物 线
1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )
A．x2＝－4y B．y2＝－4x
C．x2＝－4y D．y2＝－4x
2．(2012·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为( )
A．2 B．18
C．2或18 D．4或16
3．(2013·大同模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A．2 B．1
C. D.
4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.或 B.或
C.或 D.
5．(2012·唐山模拟)抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0
6．(2013·湖北模拟)已知直线y＝k(x－m)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D.若动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，则m＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．(2012·乌鲁木齐模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足,＝,＋, (O为坐标原点)，则△BOF的面积是________．
8．(2012·渭南模拟)已知抛物线C：y＝x2，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为________．
9．(2012·广州模拟)已知直线y＝k(x－2)(k＞0)与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为________．
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值；
(2)求△ABP面积的最大值．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._______ __ 5._________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(五十一)
A级
1．A 2.C 3.A 4.B
5．选C ∵点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)
设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，
则有y＝4x1，①
y＝4x2，②
由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)
得kBC＝＝.
又∵＝0，∴y1＋y2＝－2，
∴kBC＝－2.
又∵＝1，∴x1＋x2＝2，
∴BC中点为(1，－1)，
则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，
即2x＋y－1＝0.
6．选D 设点D(a，b)，则由OD⊥AB于D，
得则b＝－，a＝－bk；又动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，即a2＋b2－4a＝0，将a＝－bk代入上式，
得b2k2＋b2＋4bk＝0，即bk2＋b＋4k＝0，
－－＋4k＝0，又k≠0，
则(1＋k2)(4－m)＝0，因此m＝4.
7．解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，∴B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，
S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1.
答案：1
8．解析：由题意得l的方程为y＝x＋1，
即x＝2(y－1)．代入抛物线方程得
y＝(y－1)2，即y2－3y＋1＝0.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为
y1＋y2＋p＝5.
答案：5
9．解析：直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线
y2＝8x的焦点F(2,0)，由
可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，
所以－2y＝－16，即yB＝±2，又k＞0，故k＝2.
答案：2
10．解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
11．解：(1)当y＝4p时，x＝4p，抛物线的准线方程为x＝－p，焦点为(p,0)，抛物线上纵坐标为4p的点到点(p,0)的距离，就是该点到焦点的距离，由抛物线的定义得，所求距离为4p－(－p)＝5p.
(2)设直线MA的斜率为kMA，MB的斜率为kMB，
由y＝4px1，y＝4px0，
得kMA＝＝，
同理kMB＝，
又＝－2，所以y1＋y2＝－2y0，
因为kMA＋kMB＝＋＝＝0，
所以kMA＋kMB＝0，
故MA与MB的斜率之和为0.
(3)证明：设直线AB的斜率为kAB，则kAB＝＝＝，由(2)知y1＋y2＝－2y0，所以kAB＝－，由于M(x0，y0)为定点，所以－为定值且－≠0，故直线AB不可能平行于x轴．
12．解：(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝.由e＝＝＝得b2＝1，
∴椭圆C1的上顶点为(0,1)，即抛物线C2的焦点为(0,1)，
故抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，
F(x2，y2)．由x2＝4y得y＝x2，
∴y′＝x.
∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，
即x1x2＝－4.
由得x2－4kx－4k＝0，
∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)＞0，
解得k＜－1或k＞0.①
且x1x2＝－4k＝－4，即k＝1，满足①式，∴直线l的方程为x－y＋1＝0.
B级
1．选C 过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得＝＝，所以|BB1|＝·|FF1|＝，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|＝.过A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，E，由△BEF∽△ADF得＝，解得p＝.所以此抛物线的方程是y2＝3x.
2．选C 由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，代入y2＝4x得y2＝8，不妨设A(2，2)，则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，可得B，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝.
3．解：(1)由题意知得
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，
设直线AB的斜率为k(k≠0)．
由
得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，
故k·2m＝1，
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由
消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，
y1·y2＝2m2－m.从而|AB|＝ ·|y1－y2|＝·.
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，设△ABP的面积为S，
则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.
由Δ＝4m－4m2>0，得0
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