【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】5：数列 一、选择题 1 ．（2013北京海淀二模数学理科）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足, 则下列结论中错误的是 （　　） A．若,则可以取3个不同的值 B．若,则数列是周期为的数列 C．且,存在,是周期为的数列 D．且,数列是周期数列 【答案】D A,若,若，解得，成立。若，解得成立。若，解得，成立。若，解得。若，解得，成立。若，解得，但此时不满足舍去。所以当时，或或，即可以取3个不同的值，所以A正确。B若，则，，所以。此时数列是周期为的数列，所以正确。C由B可知，当时，数列是周期为的数列，所以C正确。所以下列结论中错误的是D. 2 ．（2013北京顺义二模数学理科）已知数列中,,等比数列的公比满足,且,则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 因为，，所以，所以，即是公比为4的等比数列，所以，选B. 3 ．（2013北京海淀二模数学理科）已知数列是公比为的等比数列,且,,则的值为 （　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 由，得，，解得。当时，，此时。当时，，此时。选D. 4 ．（2013北京房山二模数学理科）已知数列的前项和为,,,则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 由得，所以，即。所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选C. 5 ．（2013北京昌平二模数学理科）设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,,.给出下列结论: ① ; ② ; ③ 的值是中最大的;④ 使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是 （　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B ①由得，由得，即，所以，所以①正确。②因为，，所以，即②错误。③，，所以③错误。④，而，所以使成立的最大自然数等于198，所以④正确。所以选B. 二、填空题 6．（2013北京房山二模数学理科）在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为 比等差数列,称为比公差.现给出以下命题: ①若数列满足,则该数列不是比等差数列; ②若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差; ③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ . 【答案】①② ①由得。，因为，，所以，即①数列不是比等差数列。所以①正确。②若数列满足，则，所以为常数，所以数列是比等差数列，且比公差，正确。③若等比数列的公比为,则为常数，所以一定是比等差数列。当等差数列为时，有，为比等差数列。所以③错误。④若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以④错误，即真命题的序号①②。 7．（2013北京东城高三二模数学理科）各项均为正数的等比数列的前项和为,若,,则的值为___,的值为___. 【答案】  若公比，则，不满足，所以。所以由，得，，解得或（舍去），。所以，所以。 8．（2013北京西城高三二模数学理科）在等差数列中,,,则______;设,则数列的前项和______. 【答案】， 由，，解得。所以。。所以。 9．（2013北京朝阳二模数学理科试题）数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,,,;当时,,,,.则当时,______;试写出______. 【答案】, 当时，，，，，所以。由于，，，所以猜想。 10.（2013北京东城区二模数学理科试题）在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差； ③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列； ④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①③ ①若等比数列的公比为,则为常数，所以一定是比等差数列。当等差数列的公差时，有，为比等差数列。当等差数列的公差，不是常数，所以此时不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故①正确。②若数列满足，则，不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误。③由得。，因为，，所以，即③数列不是比等差数列。所以③正确。④若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以④错误。所以正确的命题是①③ 11．（2013北京昌平二模数学理科）本小题满分14分) 设数列对任意都有(其中、、是常数) . (I)当,,时,求; (II)当,,时,若,,求数列的通项公式; (III)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当,,时,设是数列的前项和,,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由. 【答案】解:(I)当,,时, , ① 用去代得,, ② ②—①得,,, 在①中令得,,则0,∴, ∴数列是以首项为1,公比为3的等比数列,∴= (II)当,,时,, ③ 用去代得,, ④ ④—③得, , ⑤. 用去代得,, ⑥ ⑥—⑤得,,即,. ∴数列是等差数列.∵,, ∴公差,∴ (III)由(II)知数列是等差数列,∵,∴. 又是“封闭数列”,得:对任意,必存在使 ,得,故是偶数, 又由已知,,故.一方面,当时,,对任意,都有. 另一方面,当时,,,则, 取,则,不合题意. 当时,,,则 , 当时,,, , 又,∴或或或 12．（2013北京海淀二模数学理科）(本小题满分13分) 1 2 3    1 0 1  设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1 (Ⅱ) 数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值; (Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表, 能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】(I)解:法1:  法2:  法3:  (II) 每一列所有数之和分别为2,0,,0,每一行所有数之和分别为,1; ①如果首先操作第三列,则  则第一行之和为,第二行之和为, 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 或 当时,则接下来只能操作第一行,  此时每列之和分别为 必有,解得 当时,则接下来操作第二行  此时第4列和为负,不符合题意 ② 如果首先操作第一行  则每一列之和分别为,,, 当时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当时,,至少有一个为负数, 所以此时必须有,即,所以或 经检验,或符合要求 综上: (III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下: 记数表中第行第列的实数为(),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,,,数表中个实数之和为,则.记  . 按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立 13．（2013北京房山二模数学理科）设,对于项数为的有穷数列,令为中的最大值,称数列为的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列. (Ⅰ)若,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列; (Ⅱ)是否存在数列的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列的个数;若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列有6个, 3,5,1,2,4; 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1; (Ⅱ)存在数列的创新数列为等比数列. 设数列的创新数列为, 因为为前个自然数中最大的一个,所以.若为等比数列, 设公比为,因为,所以 当时,为常数列满足条件,即为数列 当时,为增数列,符合条件的数列只能是, 又不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. (Ⅲ)存在数列,使它的创新数列为等差数列, 设数列的创新数列为,因为为前个自然数中最大的一个, 所以.若为等差数列,设公差为, 因为,所以.且 当时,为常数列满足条件,即为数列(或写通项公式), 此时数列是首项为的任意一个排列,共有个数列; 当时,符合条件的数列只能是,此时数列是, 有1个; 当时, 又 这与矛盾,所以此时不存在. 综上满足条件的数列的个数为个(或回答个). 14．（2013北京东城高三二模数学理科）已知数列,,,,. (Ⅰ)求,; (Ⅱ)是否存在正整数,使得对任意的,有; (Ⅲ)设,问是否为有理数,说明理由. 【答案】(共13分)解:(Ⅰ); . (Ⅱ)假设存在正整数,使得对任意的,有. 则存在无数个正整数,使得对任意的,有. 设为其中最小的正整数. 若为奇数,设(), 则. 与已知矛盾. 若为偶数,设(),则,而 从而. 而,与为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数,使得对任意的,有. (Ⅲ)若为有理数,即为无限循环小数, 则存在正整数,,对任意的,且,有. 与(Ⅱ)同理,设为其中最小的正整数. 若为奇数,设(), 当时,有.与已知矛盾. 若为偶数,设(), 当时,有,而 从而. 而,与为其中最小的正整数矛盾. 故不是有理数 15．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数()满足,记. (Ⅰ)求及的值; (Ⅱ)当时,求的最小值; (Ⅲ)求的最小值. 注:表示中任意两个数,()的乘积之和. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得.  (Ⅱ)设. 当时,. 若固定,仅让变动,此时, 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到, 于是. 当()时, . 因为,所以,且当,时,. 因此 (Ⅲ)设 . 固定,仅让变动,此时 , 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到,于是. 当()时, . ①当为偶数时,, 若取,,则,所以. ②当为奇数时,因为,所以, 若取,,则, 所以 16．（2013北京丰台二模数学理科）已知等差数列的通项公式为an=3n-2,等比数列中,.记集合 ,,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列的前4项; (Ⅱ)把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,求数列的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列的前n项和 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列的公比为q, ,则q3=8,q=2,bn=2n-1, 数列的前4项为1,4,7,10,数列{bn}的前4项为1,2,4,8, 数列的前4项为1,2,4,7; (Ⅱ)据集合B中元素2,8,32,128A,猜测数列的通项公式为dn =22n-1. dn=b2n ,只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2nA(). 证明如下: b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1, 若m∈N*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1∈A,则b2n+1∈A.因为b1∈A,重复使用上述结论,即得b2n-1∈A(). 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1” 数列的公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2同时属于A或同时不属于A, 当n=1时,显然b2=2A,即有b4=2A,重复使用上述结论, 即得b2nA,dn =22n-1; (Ⅲ)(1)当n=1时,所以因为,所以S1=1; (2)当n≥2时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2nA,则,且k
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