【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】5：数列
．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知等差数列,等比数列,则该等差数列的公差为 （ ）
A．3或 B．3或 C． D．
C
在等差数列中，，即。成等比，所以，即，整理得，解得或。当时，，所以成等比不成立，舍去。当时，成立，所以公差为，选C.
．（2013届北京东城区一模数学文科）对于函数,部分与的对应关系如下表:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
4
5
8
1
3
5
2
6
数列满足,且对任意,点都在函数的图象上,则的值为 （ ）
A．9394 B．9380 C．9396 D．9400
A
因为，由题意知，则，，， ，所以数列是周期3的周期数列。所以，所以选A.
．（2013届北京丰台区一模文科）设为等比数列的前项和,,则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
B
在等比数列中，由得，所以，选B.
．（2013届北京海淀一模文）等差数列中, 则的值为 （ ）
A． B． C．21 D．27
A
在等差数列中由，解得，所以，所以，选A.
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）在等差数列中,,,则的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
A
由，得，由，得，解得，所以，选A.
．（2013届北京西城区一模文科）设等比数列的公比为,前项和为,且.若,则的取值范围是 （ ）
A． B． C．D．
B
由得，即，所以，解得，又，所以的取值范围是，选B.
．（2013届房山区一模文科数学）已知为等差数列,为其前项和.若,则 （ ）
A． B． C． D．
D
由得，解得，所以，选D.
．（2013届房山区一模文科数学）设集合是的子集,如果点满足:,称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有:①; ②; ③; ④ （ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①③④
A
①中，集合中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
∴在的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在，使0＜|x|=，∴0是集合的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A
．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知定义在正整数集上的函数满足以下条件:
(1),其中为正整数;(2).则______.
因为，所以，即，所以
，，，，等式两边同时相加得，即。
．（2013届北京市朝阳区一模数学文） 在等比数列中，，则 ，若为等差数列，且，则数列的前5项和等于 .
，
在等比数列中，解得。在等差数列中，所以。
．（2013届北京市石景山区一模数学文）在等差数列中，= -2013，其前n项和为，若=2，则的值等于 ．
在等差数列中，由得，即，所以。
．（2013届北京东城区一模数学文科）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一行增加两项,若, 则位于第10行的第8列的项等于___,在图中位于___.(填第几行的第几列)
第行的第列
第行的第列
因为第行的最后一项为，所以第9行的最后一项为，所以第10行的第8列的项为。因为，所以在图中位于第行的第列。
．（2013届北京大兴区一模文科）已知数列,,,数列的前n项和为,则n=_______.
18
因为，所以数列是公差为2的等差数列，所以。又，所以，解得。
．（2013届北京大兴区一模文科）已知函数是定义在上的单调递增函数,且时,,若,则________;_________
因为，所以，若，则与矛盾。若，则，所以矛盾。所以必有，。，，因为函数单调递增，所以必有，即。
．（2013届北京西城区一模文科）已知数列的各项均为正整数,其前项和为.若且,则______;______.
，
若是奇数，则为偶数，所以，，因为，所以，解得。
若是偶数，则，若是偶数，所以，所以，即不是偶数，所以不成立。
若是奇数，所以，所以，即不是偶数，所以不成立。
因为，所以，，。所
以。
．（2013届北京市石景山区一模数学文）观察下列算式：
l3 =1,
23 =3+5,
33 = 7+9+11,
43 =13 +15 +17 +19 ，
… … … …
若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ．
45
由题意可得第n行的左边是，右边是个连续奇数的和，设第行的第一个数为，则有，，，…
，以上 个式子相加可得，所以，可得。故可知2013在第45行。
．（2013届北京东城区一模数学文科）设是由个有序实数构成的一个数组,记作:.其中 称为数组的“元”,称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”,则称为的子数组. 定义两个数组,的关系数为.
(Ⅰ)若,,设是的含有两个“元”的子数组,求的最大值;
(Ⅱ)若,,且,为的含有三个“元”的子数组,求的最大值.
解:(Ⅰ)依据题意,当时,取得最大值为2.
(Ⅱ)①当是中的“元”时,由于的三个“元”都相等,及中三个“元”的对称性,可以只计算的最大值,其中.
由,
得 .
当且仅当,且时,达到最大值,
于是.
②当不是中的“元”时,计算的最大值,
由于,
所以.
,
当且仅当时,等号成立.
即当时,取得最大值,此时.
综上所述,的最大值为1.
．（2013届北京丰台区一模文科）设满足以下两个条件的有穷数列为n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:
① ;
② .
(Ⅰ)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;
(Ⅱ)若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式;
(Ⅲ)记n阶“期待数列”的前k项和为,试证:.
解:(Ⅰ)数列为三阶期待数列
数列为四阶期待数列, (其它答案酌情给分)
(Ⅱ)设该2013阶“期待数列”的公差为,
因为,,
即, ,
当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾,
当d>0时,据期待数列的条件①②可得
,
该数列的通项公式为,
当d<0时,同理可得
(Ⅲ)当k=n时,显然成立;
当k
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