课时提能演练(三十六)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.下列不等式①a2＋1>2a；②x2＋≥1；③≤2；④sin2x＋≥4.
其中正确的不等式的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.(2012·九江模拟)设两个正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为( )
(A)24 (B)26 (C)25 (D)1
3.已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为( )
(A)1 (B)3 (C)4 (D)5
4.(预测题)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
(A)3 (B)4 (C) (D)
5.(易错题)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则ab＋的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C) (D)2
6.(2012·汉中模拟)若a＞0，b＞0，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
(A)－1 (B)＋1
(C)2＋2 (D)2－2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·合肥模拟)函数y＝＋x(x＞3)的最小值为 .
8.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是 .
9.若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，
求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.
11.(2012·西安模拟)甲、乙两地相距S千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p(单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q千米/小时(q＞p).已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.
(1)把全程燃料费用y(单位：元)表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域.
(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
【探究创新】
(16分)设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，把它沿AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB＝x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值.
答案解析
1.【解析】选A.∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故①错；
∵x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1，
等号成立的条件为x＝0，故②对；
当a，b均大于零时，a＋b≥2，即≥2，故③错；
sin2x＋≥4等号不成立，
故④错，故选A.
2.【解析】选C.＋＝(＋)(x＋y)
＝4＋＋＋9＝13＋＋
∵x，y为正数，∴＋≥2·＝12.
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立.
∴＋≥13＋12＝25.
3.【解析】选B.∵x，y∈R＋且＋＝1，由基本不等式有1＝＋≥2，解得xy≤3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立.
所以xy的最大值为3.
4.【解题指南】由已知的等式用x表示y，代入要求式子，转化为函数的最值问题.
【解析】选B.因为x＋2y＋2xy＝8，
所以y＝，所以x＋2y＝x＋
＝x＋＝(x＋1)＋－2
≥2－2＝4(当且仅当x＋1＝，
即x＝2时等号成立，此时y＝1)，选B.
【一题多解】本题也可以利用基本不等式转化为一元二次不等式求解.
因为x＋2y≥2，所以2xy≤()2，
所以x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，
设x＋2y＝A，则A＋≥8，
即A2＋4A－32≥0，解此不等式得A≤－8(舍去)或A≥4，即x＋2y≥4.∴最小值为4.
5.【解题指南】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.
【解析】选C.由a＋b＝1，a>0，b>0得
2≤a＋b＝1，∴≤，∴ab≤.
令ab＝t，则00，∴y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时，等号成立.
∴x＋y的最小值为18.
方法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(＋)·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝，且＋＝1时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
11.【解析】(1)由题意知，船每小时的燃料费用是kv2，全程航行时间为，于是全程燃料费用y＝kv2·(p＜v≤q)，定义域是 (p，q].
(2)由(1)知y＝kv2·＝kS·
＝kS[(v＋p)＋]
＝kS[(v－p)＋＋2p]≥kS[2＋2p]
＝4kSp(当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立).
①当2p∈(p，q]，即2p≤q时，ymin＝4kSp，此时船的前进速度为2p－p＝p.
②当2p(p，q]，即2p＞q时，函数y＝kv2·在(p，q]内单调递减，所以ymin＝kS·，此时船的前进速度为q－p.
故为了使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为p千米/小时；当2p＞q时，船的实际前进速度应为(q－p)千米/小时.
【变式备选】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，所需费用为y元.
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.
【解析】(1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x>0).
(2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10 800，
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立.
即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.
【探究创新】
【解析】∵AB＝x，∴AD＝12－x，
又∵DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP，
即AP＝x－DP，
∴(12－x)2＋PD2＝(x－PD)2，得PD＝12－，
∵AB>AD，∴6
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