课时提能演练(三十八)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.（易错题）下列不等式①a2+1>2a;②x2+≥1;③≤2;
④≥4.其中正确的不等式的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.已知x>0,y>0,且若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
(A)m≥4或m≤-2 (B)m≥2或m≤-4
(C)-20,b>0,O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是( )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
4.(2012?衡阳模拟)设a>b>0,则的最小值是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C) (D)
6.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则的最小值为( )
(A)4 (B) (C)1 (D)2
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.当x2-2x<8时，函数的最小值是_________.
8.（预测题）若对任意x＞0,≤a恒成立，则a的取值范围
是_______．
9.(2012?长沙模拟)某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨,运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，
求（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值.
11.（2012·银川模拟）某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付运费900元．
求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用最少?
【探究创新】
（16分）设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB=x,求△ADP的面积的最大值，及此时x的值.
答案解析
1.【解析】选A.∵a2+1-2a=(a-1)2≥0，故①错；
∵≥2-1=1,
等号成立的条件为x=0，故②对；
当a,b均大于零时，a+b≥，即≥2，故③错；
≥4等号不成立，
故④错，故选A.
2.【解析】选D.∵x>0,y>0，且
∴x+2y=(x+2y)()=≥=8，当且仅当,即4y2=x2,x=2y，又即x=4,y=2等号成立.
∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立，只需(x+2y)min>m2+2m成立，即8>m2+2m，
解得-40,b>0,
∴
当且仅当即b=2a时等号成立.
4. 【解析】选D.
当且仅当ab=1,a(a-b)=1,
即a=,b=时取等号.
5.【解题指南】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.
【解析】选C.由a+b=1，a>0,b>0得
,∴,∴ab≤.
令ab=t,则00,
而
=(x+2)+-5≥2-5=-3.
等号当且仅当x=-1时取得.
答案：-3
8.【解析】因为x＞0，所以≥2（当且仅当x=1时取等号），所以有
即的最大值为，故a≥.
答案：［,+∞)
【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法
不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：
c≥f(x)恒成立?c≥f(x)max;
c≤f(x)恒成立?c≤f(x)min.
【变式备选】已知x>0，y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立，则实数m的最大值
是_________.
【解析】由x>0,y>0,xy=x+2y≥,得xy≥8，等号当且仅当x=2y时取得.
又m-2≤xy恒成立，故只需m-2≤8,即m≤10.
∴m的最大值为10.
答案：10
9. 【解析】设购买n次,总费用为y万元，则，总运费为×4万元，
所以总费用y＝×4+4x≥
当且仅当×4=4x,即x=20时取等号.
答案：20
10.【解题指南】把2x+8y-xy=0转化为即可.
【解析】（1）由2x+8y-xy=0，得，
又x＞0,y＞0，
则得xy≥64，
当且仅当时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
（2）方法一：由2x+8y-xy=0，得，
∵x＞0,∴y＞2,
则≥18，
当且仅当y-2=，即y=6,x=12时，等号成立.
∴x+y的最小值为18.
方法二：由2x+8y-xy=0，得，
则x+y=
=≥10+=18.
当且仅当,且时等号成立，
∴x+y的最小值为18.
11.【解题指南】平均每天所支付的费用=，先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用基本不等式求其最值.
【解析】设该厂应每隔x天购买一次玉米，其购买量为6x吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为3［6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1］
==9x(x+1)，
设平均每天所支付的费用为Y1元，
则
=9x++10 809≥+10 809=10 989，
当且仅当，即x=10时取等号.
该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的费用最少.
【变式备选】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利
用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要
留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为
180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，所需费用为y元.
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.
【解析】（1）设矩形的另一边长为a m，
则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得,
所以y=225x+-360(x>0).
(2)∵x＞0，∴,
∴y=225x+-360≥10 440.
当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.
【探究创新】
【解析】∵AB=x,∴AD=12-x,
又DP=PB′,AP=AB′-PB′=AB-DP,
即AP=x-DP,
∴(12-x)2+PD2=(x-PD)2,
得PD=12-,
∵AB>AD,∴6
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