课时提能演练(三十七)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.不等式2x－y≥0表示的平面区域是( )
2.已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.(预测题)已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是( )
(A)[－2，－1] (B)[－2,1] (C)[－1,2] (D)[1,2]
4.(2012·咸阳模拟)设变量x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是( )
(A)[0,4] (B)[，5]
(C)[，6] (D)[2,10]
5.(2012·宜春模拟)已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k＋1与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )
(A)(－，0] (B)(－∞，－] (C)[－，0) (D)[－，0]
6.(易错题)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像过区域M的a的取值范围是( )
(A)[1,3] (B)[2，] (C)[2,9] (D)[，9]
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·南昌模拟)已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为 .
8.(2012·宝鸡模拟)若实数x，y满足不等式组，目标函数z＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是 .
9.已知实数x，y满足则z＝x2＋y2的最小值为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.若变量x，y满足求点P(2x－y,x＋y)所表示区域的面积.
11.(2012·马鞍山模拟)要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如表所示：
类 型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3
每张钢板的面积，第一种为1 m2，第二种为2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？
【探究创新】
(16分)已知实数x，y满足，求ω＝的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.取测试点(1,0)排除B、D，又边界应为实线，故排除C.
2.【解析】选B.作出可行域如图所示.
由图可知过B点时z最大，
由得，故zmax＝2×1＋0＝2.
3.【解析】选C.如图，不等式组表示的平面区域为图中阴影部分：
则A(0,1)，B(2,0)，C(2,1)，由此可求得zmax＝2，zmin＝－1，∴z＝x－y的取值范围是[－1,2]，故选C.
4.【解析】选B.表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率，根据题意，作出可行域，如图所示，由图知的最小值是＝，最大值是＝5，故选B.
5.【解析】选C.画出不等式组表示的平面区域，
结合平面区域的范围分析可得－≤k＜0，故选C.
6.【解题指南】作出可行域，分析a的取值大于1还是大于0小于1后，确定a的范围.
【解析】选C.作出平面区域M如图阴影部分所示.
求得A(2,10)，C(3,8)，B(1,9).
由图可知，欲满足条件必有a＞1且图像在过B、C两点的图像之间.
当图像过B点时，a＝9，过C点时，a3＝8，得a＝2，
故a的取值范围是[2,9].
7.【解析】可行域如图所示：
设圆与两直线相交于A、B两点，由两直线的斜率关系可求得tan∠AOB＝1，即∠AOB＝，
∴＝×2π×2＝.
答案：
8.【解析】要使目标函数z＝x－2y取得最大值，只需直线y＝x－在y轴上的截距－最小，当目标函数z＝x－2y＝2时，其对应的直线在y轴上的截距为－1，过点(2,0)；结合图形知，点(2,0)为直线x＝2与x＋2y－a＝0的交点，则2＋2×0－a＝0，得a＝2.
答案：2
9.【解析】作出可行域如图.
由图可知线段AB的中点C(，)到原点的距离最小，故zmin＝()2＋()2＝.
答案：
【变式备选】实数x，y满足不等式组，则ω＝的取值范围是 .
【解析】作出可行域如图所示，而ω＝其几何意义是可行域内的点与点
P(－1，1)连线的斜率的取值范围.
由得，
即B点坐标为(1,0)，
∴kPB＝－，数形结合易知ω的取值范围为[－，1).
答案：[－，1)
10.【解题指南】设，只需求点P(a，b)表示的区域的面积即可.
【解析】设?，
代入x，y的关系式得：，作出可行域如图所示，易得阴影面积S＝×2×1＝1.
11.【解析】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，
则有，作出可行域(如图中阴影部分的整点)
目标函数为z＝x＋2y，
令z＝0，作直线l0：x＋2y＝0，并平移.
由得A(，)，由于点A(，)不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点(4,8)和点(6,7)使z最小，且zmin＝4＋2×8＝6＋2×7＝
20.即截第一种钢板4张，第二种钢板8张或第一种钢板6张，第二种钢板7张，满足需求且使所用钢板面积最小.
【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型
(1)给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.
【探究创新】
【解题指南】将ω的关系式化简为ω＝4＋2·，先求得的范围，再求ω的范围.
【解析】作出可行域如图：
由ω＝
＝
＝4＋2·，
故问题转化为求z＝的范围问题，
即可行域内的点与P(3,2)点连线的斜率范围问题，
由P(3,2)，A(1,0)，B(0，)，
得kPA＝＝1，kPB＝＝，
∴zmax＝1，zmin＝，
∴ω的最大值为2×1＋4＝6，ω的最小值为2×＋4＝5，故ω的取值范围是[5,6].
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