课时提能演练(三十八) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2 011(x)＝(　　) (A)－sinx－cosx　　　 　 (B)sinx－cosx (C)－sinx＋cosx (D)sinx＋cosx 2.(2012·宿州模拟)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　) (A)f(x)　 　(B)－f(x)　　 (C)g(x)　 　(D)－g(x) 3.(2012·嘉兴模拟)观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为(　　) (A)9(n＋1)＋n＝10n＋9 (B)9(n－1)＋n＝10n－9 (C)9n＋(n－1)＝10n－1 (D)9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 4.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是(　　) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 5.(2012·西安模拟)已知x∈(0，＋∞)，观察下列式子：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3…类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为(　　) (A)nn　　(B)n　　(C)n＋1　　(D)n－1 6.(预测题)对于命题：若O是线段AB上一点，则有|
|·
＋|
|·
＝0. 将它类比到平面的情形是： 若O是△ABC内一点，则有S△OBC·
＋S△OCA·
＋S△OBA·
＝0. 将它类比到空间的情形应该是： 若O是四面体ABCD内一点，则有(　　) (A)VO—ACD·
＋VO—BCD·
＋VO—ABC·
＋VO—ABD·
＝0 (B)VO—BCD·
＋VO—ACD·
＋VO—ABD·
＋VO—ABC·
＝0 (C)VO—ABD·
＋VO—ABC·
＋VO—BCD·
＋VO—ACD·
＝0 (D)VO—ABC·
＋VO—ABD·
＋VO—ACD·
＋VO—BCD·
＝0 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012·宝鸡模拟)观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°·cos60°＝，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，…，由此得出以下推广命题不正确的是　　　. ①sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝； ②sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝； ③sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝； ④sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝. 8.(2012·宜春模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用s1，s2，s3表示三个侧面面积，s4表示截面面积，那么你类比得到的结论是　　　　.
9.在计算Sn＝＋＋…＋(n∈N＋)时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第n项：an＝＝－， 由此得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝， 类比上述方法，请你计算：Sn＝＋＋…＋(n∈N＋)，其结果为Sn＝　　　　. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点. (1)求第n行实心圆点个数与第n－1，n－2行实心圆点个数的关系. (2)求第11行的实心圆点的个数.
11.已知函数f(x)＝， (1)分别求f(2)＋f()，f(3)＋f()，f(4)＋f()的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明； (3)求值： f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 011)＋f()＋f()＋…＋f(). 【探究创新】 (16分)已知等差数列{an}的公差为d＝2，首项a1＝5. (1)求数列{an}的前n项和Sn； (2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5，T1，T2，T3，T4，T5，并归纳Sn，Tn的大小规律. 答案解析 1.【解析】选A.由题意知f2(x)＝cosx－sinx；f3(x)＝－sinx－cosx；f4(x)＝－cosx＋sinx；f5(x)＝sinx＋cosx；…可得fn(x)是以4为周期的周期函数， 故f2 011(x)＝f3(x)＝－sinx－cosx. 2.【解析】选D.由(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由此可推得g(－x)＝－g(x).故选D. 3.【解析】选B. 当n＝1时，9×0＋1＝1. 当n＝2时，9×1＋2＝11. 当n＝3时，9×2＋3＝21. 当n＝4时，9×3＋4＝31. 当n＝5时，9×4＋5＝41. 猜想第n个等式应为：9×(n－1)＋n＝10×(n－1)＋1 ∴9×(n－1)＋n＝10n－9. 4.【解题指南】根据凸集的定义，结合图形的形状特征即可判定. 【解析】选B.根据凸集的定义，结合图形任意连线可得②③为凸集. 5.【解析】选A.由观察可得：x＋＝
＋≥(n＋1)·＝(n＋1)·＝n＋1，则a＝nn.故选A. 6.【解析】选B.由线段AB上|
|·
＋|
|·
＝0类比可得， 若O是△ABC内一点，则S△OBC·
＋S△OCA·
＋S△OBA·
＝0， 故四面体ABCD中
与VO—BCD对应，
与VO—ACD对应，
与VO—ABD对应，
与 VO—ABC对应，故应选B. 7.【解析】由归纳推理可知②③④正确. 答案：① 8.【解析】由平面图形可知直角三角形存在c2＝a2＋b2，转换成空间图形得三棱锥，长度类比为面积，可得到s＋s＋s＝s. 答案：s＋s＋s＝s 9.【解析】由条件可类比得：an＝ ＝[－]， ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝[－] ＝. 答案： 10.【解题指南】设出第n行实心圆点的个数an，空心圆点的个数bn，则它与第n－1行的关系由题意不难得出，整理可得解. 【解析】(1)设第n行实心圆点有an个，空心圆点有bn个，由树形图的生长规律可得， ∴an＝an－1＋bn－1＝an－1＋an－2， 即第n行实心圆点个数等于第n－1行与第n－2行实心圆点个数之和. (2)由(1)可得数列{an}为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55. 【方法技巧】解决“生成”数列的方法 解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n项与第n－1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点. 【变式备选】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数 都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第几行？
【解析】杨辉三角中某行全为奇数时转换后此行才都为1，由数阵可得，全行的数都为1分别是第1,3,7,15，…行，由此可猜想第n次全行的数都为1的是第2n－1行. 11.【解析】(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f()＝＋＝＋＝1， 同理可得f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1. (2)由(1)猜想f(x)＋f()＝1， 证明：f(x)＋f()＝＋ ＝＋＝1. (3)由(2)可得，原式＝f(1)＋[f(2)＋f()]＋ [f(3)＋f()]＋…＋[f(2 011)＋f()] ＝f(1)＋2 010＝＋2 010＝. 【探究创新】 【解析】(1)Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)； (2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n. ∴S1＝5，S2＝12，S3＝21，S4＝32，S5＝45， T1＝5，T2＝18，T3＝39，T4＝68，T5＝105. 由此可知S1＝T1，当n≥2(n∈N＋)时，Sn

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