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课时提能演练(三十七)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知an＝()n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
…
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝( )
(A)()67 (B)()68 (C)()111 (D)()112
2.(2012·嘉兴模拟)在正实数集上定义一种运算*：当a≥b时，a*b＝b3；当a1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，则按此规律可猜想第n个不等式为 .
8.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝ .
9.(预测题)观察下面的数表：
根据此数表的规律，第7行的第4个数是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.
(1)求第n行实心圆点个数与第n－1，n－2行实心圆点个数的关系.
(2)求第11行的实心圆点的个数.
11.如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|2＋|AC|2＝|BC|2”和“＝＋”等，由此联想，在三棱锥O—ABC中，若三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，可以推出哪些结论？至少写出两个结论.
【探究创新】
(16分)已知等差数列{an}的公差为d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5，T1，T2，T3，T4，T5，并归纳Sn，Tn的大小规律.
答案解析
1.【解析】选D.由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9，…，可得前10行共有＝100个数，A(11,12)表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列{an}的第100＋12＝112个数，即可得A(11,12)＝()112，故应选D.
2.【解析】选D.由已知，3*x =
∴当3*3=27时，若，则x3=27, ∴x=3,
若，则x3=27, ∴x=3,或x＝－3(舍)，
综上，x＝3或3.
3.【解题指南】根据三段论的结构特征即可解决，务必要分清大前提、小前提及结论.
【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②玉树人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③玉树人一定坚强不屈)”.故选A.
4.【解题指南】根据凸集的定义，结合图形的形状特征即可判定.
【解析】选B.根据凸集的定义，结合图形任意连线可得②③为凸集.
5.【解析】选A.∵ac＝c，
∴d (ac)＝dc＝a，故选A.
6.【解析】选B.由线段AB上||·＋||·＝0类比可得，
O是△ABC内一点，则S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，
故四面体中与VO—BCD对应，与VO—ACD对应，与VO—ABD对应，与VO—ABC对应，故应选B.
7.【解题指南】第一个不等式左侧3项，第二个7项，第三个15项，故第n个应有2n＋1－1项，右侧，为1，，2，…，
故第n个应为，从而可得.
【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为1＋＋＋＋…＋>.
答案：1＋＋＋…＋>
8.【解析】因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对于定义域中的任意x都成立，因为1在定义域中，所以f(－1)＝－f(1)，可求得a＝－1.
答案：－1
9.【解析】由数表规律，可得第6行为
1 5 15 30 45 51 …
第7行为
1 6 21 50 …
答案：50
10.【解题指南】设出第n行实心圆点的个数an，空心圆点的个数bn，则它与第n－1行的关系由题意不难得出，整理可得解.
【解析】(1)设第n行实心圆点有an个，空心圆点有bn个，由树形图的生长规律可得，
∴an＝an－1＋bn－1＝an－1＋an－2，
即第n行实心圆点个数等于第n－1行与第n－2行实心圆点个数之和.
(2)由(1)可得数列{an}为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55.
【方法技巧】解决“生成”数列的方法
解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n项与第n－1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.
【变式备选】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第几行？
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
… … … … … … …
【解析】杨辉三角中某行全为奇数时转换后此行才都为1，由数阵可得，全行的数都为1分别是第1,3,7,15，…行，由此可猜想第n次全行的数都为1的是第2n－1行.
11.【解析】有以下结论：
(1)三个侧面OAB、OAC、OBC两两垂直
(2)＝＋＋(H为△ABC的垂心)
(3)
以下给出具体的证明：
(1)∵OA⊥OC，OB⊥OC，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面OAB，
∴平面OAC⊥平面OAB，平面OBC⊥平面OAB，同理可证平面OBC⊥平面OAC.
(2)如图连接AH，并延长AH交BC于D，连接OD，
∵OA⊥平面OBC，∴OA⊥OD，
在Rt△AOD中，∵OH⊥AD，
∴OH·AD＝OA·OD，∴OH2·AD2＝OA2·OD2，
又∵AD2＝OA2＋OD2，
∴＝＋ ①，
∵AD⊥BC，由三垂线定理得：BC⊥OD，
∴在Rt△OBC中，OD2·BC2＝BO2·CO2，
∴OD2＝，
又∵BC2＝BO2＋CO2，∴＝＋ ②
由①②得：＝＋＋.
(3)令OA＝a，OB＝b，OC＝c，
∵H为垂心，∴AD⊥BC，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴S△OAB＝ab，S△OBC＝bc，
S△OAC＝ac，S△ABC＝BC·AD，
∴S△OAB2＋S△OAC2＋S△OBC2
＝(a2b2＋a2c2＋b2c2)
＝a2(b2＋c2)＋b2c2. ①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC，
∴OB2·OC2＝b2c2＝OD2·BC2
＝OD2·(b2＋c2). ②
∴②代入①得：S△OAB2＋S△OBC2＋S△OAC2＝(b2＋c2)·AD2＝BC2·AD2＝S△ABC2.
【方法技巧】解此类问题的技巧
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路.如表：
平面中
点
线
面
空间中
线
面
体
【探究创新】
【解析】(1)Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)；
(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.
∴S1＝5，S2＝12，S3＝21，S4＝32，S5＝45，
T1＝5，T2＝18，T3＝39，T4＝68，T5＝105.
由此可知S1＝T1，当5≥n≥2(n∈N*)时，Sn
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