课时提能演练(三十九) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·宝鸡模拟)用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是(　　) (A) (B) (C)＝且＜ (D)＝或＞ 2.证明不等式－<－(a≥2)所用的最适合的方法是(　　) (A)综合法 (B)分析法 (C)间接证法 (D)合情推理法 3.在△ABC中，sinAsinCab＋bc＋ca. 证明过程如下： ∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 又∵a，b，c不全相等， ∴以上三式至少有一个“＝”不成立， ∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， ∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 此证法是(　　) (A)分析法 (B)综合法 (C)分析法与综合法并用 (D)反证法 5.(2012·大同模拟)用反证法证明命题：“设a，b，c大于0，则a＋、b＋、c＋中至少有一个不小于2”时，假设的内容是(　　) (A)都不小于2 (B)至少有一个不大于2 (C)都小于2 (D)至少有一个小于2 6.(预测题)设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则a的取值范围是(　　) (A)a< (B)a<且a≠－1 (C)a>或a<－1 (D)－10，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥　　　. 8.(2012·冀州模拟)设P＝，Q＝－，R＝－，则P、Q、R的大小顺序是　　　　　. 9.(2012·亳州模拟)给出以下四个结论： ①若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c； ②若a与b是平行向量，b与c也是平行向量，则a与c不一定是平行向量； ③在区间[，]上函数y＝sinx＋cosx是增函数； ④直线x＝是函数y＝sinx＋cosx图像的一条对称轴. 其中正确结论的序号为　　　　(写出所有正确结论的序号). 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.求证：若a>0，则－≥a＋－2. 11.(易错题)用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0、x2＋(a－1)x＋a2＝0、x2＋2ax－2a＝0，当a≤－或a≥－1时，至少有一个方程有实数根. 【探究创新】 (16分)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对D内的任意x1，x2，…，xn都有≤f().已知函数f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则 (1)求△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值. (2)判断f(x)＝2x在R上是否为凸函数. 答案解析 1.【解析】选D.根据反证法词语的否定形式，“＜”的否定应为“≥ ”，故选D. 2.【解析】选B.欲比较－，－的大小，只需比较＋，＋，(＋)2＝2a－1＋2·，(＋)2＝2a－1＋2·，只需比较·，·的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法，故选B. 3.【解题指南】将不等式移项，对两角和的余弦公式进行逆用，得出角的范围即可. 【解析】选C.由sinAsinC0，即cos(A＋C)>0， ∴A＋C是锐角，从而B>，故△ABC必是钝角三角形. 4.【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义. 5.【解析】选C.根据反证法中词语的否定形式可得：“至少有一个不小于2”的否定为“都小于2”，故选C. 6.【解析】选D.∵f(x)的周期为3，∴f(2)＝f(－1)， 又f(x)是R上的奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)，则f(2)＝f(－1)＝－f(1)， 再由f(1)>1，可得f(2)<－1， 即<－1，解得－1>， 故>>，即P>R>Q. 答案：P>R>Q 9.【解析】当a与c不是共线向量，且分别与b的夹角相等，|a|＝|c|也符合a·b＝b·c，但a≠c，故①错误，当b＝0时，a与c不一定是平行向量，故②正确. 由于y＝sinx＋cosx＝sin(x＋). 当x∈[，π]时，函数y＝sinx＋cosx是减函数，故③错误. 直线x＝是函数y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)的一条对称轴，故④正确. 答案：②④ 10.【解题指南】利用分析法证明.由a>0，将不等式两边平方，不等式仍成立，最后利用基本不等式得证. 【证明】要证原不等式成立，只需证＋2≥a＋＋.∵a>0，∴两边均大于零. 因此只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2(a＋). 只需证2≥(a＋)， 只需证2(a2＋)≥a2＋＋2，即证a2＋≥2， 而a2＋≥2显然成立，∴原不等式成立. 【变式备选】已知a>6， 求证：－<－. 【证明】方法一： 要证－<－ 只需证＋<＋ (＋)2<(＋)2 2a－9＋2< 2a－9＋2， <， (a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)， 18<20. 因为18<20显然成立， 所以原不等式成立. 方法二：要证－<－ 只需证< 只需证＋>＋ ∵a>6，∴a－3>a－4>a－5>a－6>0， 则＋>＋. 所以原不等式成立. 11.【证明】设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得：?－＜a＜－1 与a≤－或a≥－1矛盾，故原命题成立. 【探究创新】 【解析】(1)∵f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，A、B、C∈(0，π)且A＋B＋C＝π， ∴≤f()＝f()， 即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝. 所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为. (2)∵f(－1)＝，f(1)＝2， 而＝＝， 而f()＝f(0)＝1， ∴>f(). 即不满足凸函数的性质定理，故f(x)＝2x在R上不是凸函数. 【方法技巧】新定义题的解题技巧 (1)对于新型概念的解题问题，要理解其定义的实质，充分利用定义解题是关键. (2)要证明一个函数满足定义需利用定义加以证明它满足的条件，若想说明它不满足定义，只需用特例说明即可.
【点此下载】