时提能演练(四十) (45分钟 100分) 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.结论为：xn+yn能被x+y整除，令n=1,2,3,4验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为( ) （A）n∈N* （B）n∈N*且n≥3 （C）n为正奇数 （D）n为正偶数 2.证明不等式（a≥2)所用的最适合的方法是( ) （A）综合法 （B）分析法 （C）间接证法 （D）合情推理法 3.在△ABC中，sinAsinCab+bc+ca. 证明过程如下： ∵a、b、c∈R,∴a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 又∵a,b,c不全相等, ∴以上三式至少有一个“=”不成立, ∴将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac), ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. 此证法是( ) （A）分析法 （B）综合法 （C）分析法与综合法并用 （D）反证法 5.（2012·杭州模拟）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) （A）假设三内角都不大于60度 （B）假设三内角都大于60度 （C）假设三内角至多有一个大于60度 （D）假设三内角至多有两个大于60度 6.(2012?湘潭模拟)设x>0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx )2,则( ) (A)P≥Q (B)P≤Q (C)P>Q (D)P0,则 11.已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数. 【探究创新】 （16分）凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对D内的任意x1,x2,…,xn都有已知函数f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数，则 （1）求△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值. （2）判断f(x)=2x在R上是否为凸函数. 答案解析 1.【解析】选C.由结论xn+yn能被x+y整除，验证n=1成立，n=2不成立，n=3成立，n=4不成立，故排除A、B、D，只有C满足. 2.【解析】选B.欲比较的大小，只需比较 的大小, =2a-1+ 2,只需比较的大小，以上证明可知最适合的方法是分析法，故选B. 3.【解题指南】将不等式移项，对两角和的余弦公式进行逆用，得出角的范围即可. 【解析】选C.由sinAsinC0, 即cos(A+C)>0,∴A+C是锐角, 从而B>，故△ABC必是钝角三角形. 4.【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义. 5.【解析】选B.由反证法的定义可知，要否定结论，即至少有一个不大于60°的否定是三内角都大于60°，故选B. 6. 【解析】选C.∵ (当且仅当x=0时等号成立) 又∵x>0,∴P>2, ∵Q=(sinx+cosx)2=1+sin2x≤1+1=2. ∴Q≤2,故选C. 7. 【解析】∵{x||x-3|+|x-4|(|x-3|+|x-4|)min,故m>1. 答案：(1，+∞) 8.【解析】∵ 而 ∴ 故 即P>R>Q. 答案：P>R>Q 9.【解析】①中x为直线，y,z为平面，则x⊥z,y⊥z，而xy,∴必有x∥y成立，故①正确. ②中若x,y,z均为平面，由墙角三面互相垂直可知x∥y是错的. ③x、y为直线，z为平面，则x⊥z,y⊥z可知x∥y正确. ④x、y为平面，z为直线，z⊥x,z⊥y，则x∥y成立. ⑤x、y、z均为直线，x⊥z且y⊥z,则x与y还可能异面、垂直，故不成立. 答案：①③④ 10.【解题指南】利用分析法证明.由a>0,将不等式两边平方，不等式仍成立，最后利用基本不等式得证. 【证明】要证原不等式成立，只需证 ∵a>0,∴两边均大于零. 因此只需证a2++4+≥a2++2+2+ 只需证, 只需证2（a2+）≥a2++2,即证a2+≥2, 而a2+≥2显然成立，∴原不等式成立. 【变式备选】已知a>6, 求证： 【证明】方法一： 要证 只需证    (a-3)(a-6)<(a-5)(a-4), 18<20. 因为18<20显然成立， 所以原不等式成立. 方法二：要证 只需证 只需证 ∵a>6,∴a-3>a-4>a-5>a-6>0, 则 所以原不等式成立. 11.【证明】假设a,b,c,d都是非负数，因为a+b=c+d=1, 所以a,b,c,d∈［0,1］, 所以 所以 这与已知ac+bd>1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a,b,c,d中至少有一个是负数. 【探究创新】 【解析】 (1)∵f(x)=sinx在（0，π)上是凸函数，A、B、C∈(0,π)且A+B+C=π, ∴ 即sinA+sinB+sinC≤3sin=. 所以sinA+sinB+sinC的最大值为. （2）∵f(-1)=,f(1)=2, 而 而 ∴ 即不满足凸函数的性质定理，故f(x)=2x不是凸函数. 【方法技巧】新定义题的解题技巧 （1）对于新型概念的解题问题，要理解其定义的实质，充分利用定义解题是关键. （2）要证明一个函数满足定义需利用定义加以证明它满足的条件，若想说明它不满足定义，只需用特例说明即可.
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