课时提能演练(四十一) (45分钟 100分) 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=
(a≠1,n∈N*)”时，在验证n=1成立时，左边应该是( ) （A）1 （B）1+a （C）1+a+a2 （D）1+a+a2+a3 2.(2012?长沙模拟)用数学归纳法证明
时，由n=k(k>1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是( ) (A)2k-1 (B)2k-1 (C)2k (D)2k+1 3.下列代数式(k∈N*)能被9整除的是( ) (A)6+6×7k (B)2+6×7k-1 (C)2(2+2×7k+1) (D)3(2+7k) 4.(易错题)某个命题与正整数n有关，如果当n=k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得( ) (A)当n=6时该命题不成立 (B)当n=6时该命题成立 (C)当n=8时该命题不成立 (D)当n=8时该命题成立 5.（2012·济宁模拟）若Sk=1+2+3+…+(2k+1)，则Sk+1=( ) （A）Sk+(2k+2) （B）Sk+(2k+3) （C）Sk+（2k+2）+(2k+3) （D）Sk+（2k+2）+(2k+3)+(2k+4) 6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为( ) （A）a=
,b=c=
（B）a=b=c=
（C）a=0,b=c=
（D）不存在这样的a、b、c 二、填空题（每小题6分，共18分） 7.（2012·徐州模拟）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时，进而需证n=_______时，命题亦真. 8.(2012?株洲模拟)凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)=__________ ___. 9.用数学归纳法证明:
当推证当n=k+1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是_______. 三、解答题（每小题15分，共30分） 10.（2012·赣州模拟）数列{an}中,a1=-
,当n>1,n∈N*时，Sn+
=an-2, （1）求S1,S2,S3的值； （2）猜想Sn的表达式，并证明你的猜想. 11.（2012·邢台模拟）若不等式
对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论. 【探究创新】 （16分）设函数y=f(x),对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1)求f(0)的值； (2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值; (3)在（2）的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明. 答案解析 1.【解析】选C.当n=1时，左边=1+a+a2,故选C. 2. 【解析】选C.左边的特点：分母依次增加1，末项为
;由n=k，末项为
,而n=k+1,末项为
.故应增加的项数为2k. 3.【解析】选D.通过验证k=1可否定A、B、C. 4.【解析】选A.命题“n=k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立”的逆否命题为“n=k+1(k∈N*)时命题不成立，那么可推得当n=k(k∈N*)时命题也不成立”，故选A. 【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k+1)≥(k+1)2成立，下列命题成立的是( ) （A）若f(3)≥9成立，则对定义域内任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立 （B）若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k≥4，均有f(k)

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