巩固双基,提升能力
一、选择题
1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则( )
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2
C．2a－2b＜0 D.＞
解析：取a＝－4，b＝2即可判断选项A、B、D错，故选C.
答案：C
2．若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的不等式是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
解析：取a＝－1，b＝－2，验证即可．
答案：C
3．(2013·泉州调研)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
解析：取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，故选D.
答案：D
4．(2013·广东潮州质检)已知0＜x＜y＜a＜1，m＝logax＋logay，则有( )
A．m＜0 B．0＜m＜1
C．1＜m＜2 D．m＞2
解析：由0＜x＜y＜a，得0＜xy＜a2.又0＜a＜1，
故m＝logax＋logay＝logaxy＞logaa2＝2.故选D.
答案：D
5．(2013·阳江联考)已知a，b满足0＜a＜b＜1，下列不等式中成立的是( )
A．aa＜bb B．aa＜ba
C．bb＜ab D．bb＞ba
解析：取特殊值法．
令a＝，b＝，则aa＝＝，
bb＝，故A错．
ab＝＜＝bb，故C错．
bb＝＜＝ba，故D错.
答案：B
6．(2013·怀化调研)若0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( )
A．ab＜b2＜1 B．logb＜loga＜0
C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1
解析：∵y＝2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，
∴2b＜2a＜21，即2b＜2a＜2.
答案：C
二、填空题
7．下列四个不等式：
①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.
其中使＜成立的充分条件有__________．
解析：＜?＜0?b－a与ab异号，依题设，知①②④能使b－a与ab异号.
答案：①②④
8．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且公比q＜1，则4a5－3a3与a1的大小关系是__________．
解析：4a5－3a3－a1＝4a1q4－3a1q2－a1
＝a1(4q4－3q2－1)
＝a1(q2－1)(4q2＋1)．
∵0＜q＜1，∴q2＜1，即q2－1＜0.
又a1＞0,4q2＋1＞0，∴4a5－3a3－a1＜0，即4a5－3a3＜a1.
答案：4a5－3a3＜a1
9．(2013·广州调研)设a＞b＞c＞0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是__________．
解析：方法一：y2－x2＝2c(a－b)＞0，∴y＞x.
同理，z＞y.∴z＞y＞x.
方法二：令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝，y＝，z＝，故z＞y＞x.
答案：z＞y＞x
三、解答题
10．已知－＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，试比较A，B，C，D的大小．
解析：∵－＜a＜0，不妨取a＝－，
这时A＝，B＝，C＝，D＝，
由此猜测：C＞A＞B＞D.
下面再来证明这个结论：C－A＝－(1＋a2)＝＝.
∵1＋a＞0，－a＞0，2＋＞0，∴ C＞A.
A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0，∴A＞B.
B－D＝1－a2－＝
＝.
∵－＜a＜0，∴1－a＞0.
2－＜2－＜0，∴B＞D.
综上所述，C＞A＞B＞D.
11．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
解析：f(x)＝＝m，
所以f(a)＝m，f(b)＝m.
由a＞b＞1，知a－1＞b－1＞0，
所以1＋＜1＋.
①当m＞0时，m＜m，f(a)＜f(b)；
②当m＝0时，f(a)＝f(b)；
③当m＜0时，m＞m，f(a)＞f(b)．
综上，当m＞0 时，f(a)＜f(b)；当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m＜0时，f(a)＞f(b)．
12．设x＞0，且x≠1，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2.试比较f(x)与g(x)的大小．
解析：比较两对数的大小，应联系对数的性质及对数函数的单调性．
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx3x－logx4＝logxx.
①当logxx＞0，即或
也就是x＞，或0＜x＜1时， f(x)＞g(x)．
②当logxx＝0，即x＝1，
也就是x＝时，f(x)＝g(x)．
③当logxx＜0，即或
也就是1＜x＜时，f(x)＜g(x)．
综上，当x＞，或0＜x＜1时，f(x)＞g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当1＜x＜时，f(x)＜g(x)．
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