课时提能演练(四十二)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·衡阳模拟)在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )
(A)角的水平放置的直观图不一定是角
(B)相等的角在直观图中仍然相等
(C)相等的线段在直观图中仍然相等
(D)若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
2.以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
3.(预测题)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
5.(2012·潍坊模拟)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )
(A) (B)2 (C)4 (D)2
6.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是( )
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(易错题)一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_________(只填写序号).
8.(易错题)已知一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)____________.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为_________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成.
11.一几何体按比例绘制的三视图如图所示.
(1)试画出它的直观图(直接画出即可)；
(2)求该几何体的表面积和体积.
【探究创新】
(16分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作
4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝.再用S平方
米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求
出该最大值(结果精确到0.01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).
答案解析
1.【解析】选D.角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D.
2.【解析】选B.由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确.综上，正确的命题有3个.
3.【解析】选C.当俯视图为A、B时表示底面为等腰直角三角形，且过直角顶点的棱与底面垂直的三棱锥.当俯视图为D时，表示底面为正方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.故选C.
【方法技巧】由直观图画三视图的技巧
(1)可以想象将一几何体放在自己面前,然后从正前方,左侧及上面观察该几何体,进而得到正视图、侧视图和俯视图.
(2)在画三视图时,要注意看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线.
4.【解析】选A.由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形,且位于y轴上的对角线长为2.
5.【解析】选B.由三视图知，该几何体为四棱锥P-ABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为2的正方形,
PC⊥平面ABCD,PC=2.故PB=PD=2,
，所以最长棱的长为.
6.【解题指南】由三视图判断容器的形状，然后根据容器的形状判断h与t的关系图象.
【解析】选B.由三视图可知该几何体为下面是圆柱、上面为圆台的组合体，当向容器中匀速注水后，容器中水面的高度h先随时间t匀速上升，当充满圆柱后变速上升且越来越快.故选B.
【误区警示】解答本题时常因错误判断容器的形状而失误；另外，不能准确判断圆台部分中h与t的关系，也是常出现的错误.
7.【解析】当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得②，继续旋转，过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④.
答案：①②③
8.【解析】由三视图可知该几何体为底面是边长为a的正方形,高为b的长方体.若以四个顶点为顶点的图形为平行四边形,则一定是矩形,故②不正确.
答案：①③④⑤
9.【解析】在直观图中，过点A作AE⊥BC,垂足为E,
则在Rt△ABE中，AB=1,∠ABE=45°，∴BE=.
而四边形AECD为矩形，AD=1，
∴EC=AD=1.
∴BC=BE+EC=+1.
由此可还原原图形如图.
在原图形中，A′D′=1,A′B′=2,
B′C′=+1,且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′.
∴这块菜地的面积为S=(A′D′+B′C′)·A′B′
.
答案：
10.【解析】图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体.
11.【解析】(1)直观图如图所示，
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一部分，且该几何体的体积是以A1B1,A1D1,A1A为长，宽，高的长方体体积的.
在直角梯形AA1B1B中，
作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形.
∴AA1=EB=1.
在Rt△BEB1中，EB=EB1=1，∴BB1=.
∴几何体的表面积
=1+2××(1+2)×1+1×+1+1×2=7+.
几何体的体积V=×1×2×1=.
即所求几何体的表面积为7+，体积为.
【探究创新】
【解题指南】(1)根据条件确定圆柱的高与底面半径的关系，转化为函数问题解决；(2)结合实物图画出三视图即可.
【解析】(1)设圆柱的高为h，由题意可知，
4(4r+2h)=9.6，
即2r+h=1.2.
S=2πrh+πr2=πr(2.4-3r)
=3π[-(r-0.4)2+0.16]，其中0
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