巩固双基,提升能力
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
解析：依题意得或?－1≤x≤0或0＜x≤1?－1≤x≤1.
答案：A
2．已知不等式x2－2x－3＜0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为( )
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
解析：∵x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，
∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1.
答案：D
3．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3
C．a＞2 D．－2＜a＜2
解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，即解得a＞2.
答案：C
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B． (－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0?x2＋x－2＜0?－2＜x＜1.
答案：B
5． (2013·郯城调研)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
解析：由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.
答案：A
6．设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于( )
A．7 B．－1
C．1 D．－7
解析：由A可知x＜－1，或x＞3，如图．
若A∪B＝R，则x2＋ax＋b＝0的两根x1，x2必有x1≤－1，x2≥3.
又A∩B＝(3,4]，故x1＝－1，x2＝4.
∴－1＋4＝－a.
∴a＝－3，－1×4＝b.
∴b＝－4.故a＋b＝－7.
答案：D
二、填空题
7．(2013·宁阳二中月考)已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则f(x2－1)的定义域为__________．
解析：令0≤x2－1≤2，∴x∈[－，－1]∪[1，]．
答案：[－，－1]∪[1，]
8．(2013·金华调研)已知函数f (x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是__________．
解析：依题意，f(x)的对称轴为x＝1，又开口向下，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)是单调递增函数．
若f(x)＞0恒成立，
则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＞0，
即b2－b－2＞0.
∴(b－2)(b＋1)＞0.
∴b＞2，或b＜－1.
答案：b＞2，或b＜－1
9．(2013·淮南质检)若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为__________．
解析：由已知，得f(x＋6)＋f(x)＝f[(x＋6)x]，
2f(4)＝f(16)．根据单调性，得(x＋6)x＜16，
解得－8＜x＜2.又x＋6＞0，x＞0，所以0＜x＜2.
答案：(0,2)
三、解答题
10．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．
解析：(1)f(x)≥a，
即x2＋ax＋3－a≥0对x∈R恒成立，
∴a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2.
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a
∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，或或
解得－6≤a≤2，或－7≤a≤－4，即－7≤a≤2.
11．已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb满足f(－1)＝－2，且对一切实数x，都有f(x)≥2x.
(1)求a，b；
(2)在(1)的条件下，求f(x)的最小值．
解析：(1)由已知，得f(－1)＝1－(lga＋2)＋lgb＝－2.
∴1＝lga－lgb，
∴a＝10b.
又∵f(x)≥2x恒成立．
∴x2＋xlga＋lgb≥0对任意的x恒成立，
∴Δ＝(lga)2－4lgb≤0.
∴(lga)2≤4lgb.
∵a＝10b，
∴(lg10b)2≤4lgb.
∴(1＋lgb)2≤4lgb?(lgb－1)2≤0.
又∵(lgb－1)2≥0，
∴lgb－1＝0?b＝10，a＝100.
∴a＝100，b＝10.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3，
∴当x＝－2时，f(x)的最小值为－3.
12．(2013·潍坊质检)已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.
(1)求函数g (x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|.
解析：(1)设函数y＝g(x)图像上任意一点P(x，y)关于原点的对称点为Q(x0，y0)，则即
由题知点Q(x0，y0)在函数y＝f(x)的图像上，
∴－y＝x2－2x，即y＝－x2＋2x.
故g(x)＝－x2＋2x.
(2)由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2－|x－1|≤0，
当x≥1时，2x2－x＋1≤0，此时不等式无解；
当x＜1时，2x2＋x－1≤0，解得－1≤x≤.
因此原不等式的解集为.
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