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课时提能演练(四十一)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·银川模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )
(A)π (B)56π (C)14π (D)64π
2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )
正视图：半径为1 侧视图：半径为1的 俯视图：
的半圆以及高为1 圆以及高为1的矩形 半径为1的圆
的矩形
(A) (B) (C) (D)
3.(2012·杭州模拟)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )
(A)2 (B) (C)2 (D)4
4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
(A)2 (B)1 (C) (D)
5.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正视图、侧视图、俯视图相同如图所示，其中视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为( )
(A) (B)2 (C)3 (D)4
6.某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(易错题)三棱锥A—BCD的各个面都是正三角形，棱长为2，点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动，则沿三棱锥外表面从P到Q的最短距离等于 .
8.圆锥的全面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为
cm3.
9.如图，有三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱、一个是过圆柱上下底面圆心切下的圆柱的四分之一部分，这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(预测题)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积.
11.(2012·温州模拟)下图是一个组合体，它下部的形状是高为10 m的圆柱，上部的形状是母线长为30 m的圆锥，试问当组合体的顶点O到底面中心O′的距离为多少时，组合体的体积最大？最大体积是多少？(注：V柱体＝S底·h，
V锥体＝S底·h)
【探究创新】
(16分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.
(1)求AB的长度.
(2)求该长方体外接球的表面积.
答案解析
1.【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则，得，
令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32＝14，
∴R2＝，
∴S球＝4πR2＝14π.
【变式备选】(2012·海口模拟)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
(A)25π (B)50π (C)125π (D)都不对
【解析】选B.由题意知外接球的直径2R＝＝5，
∴S表＝4πR2＝4π×()2＝50π.
2.【解析】选C.由三视图可知，此几何体为下面是底面半径为1高为1的圆柱，上面是半径为1的个球，
故体积V＝π×12×1＋×π×13＝π＋π＝.
【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
(A)π cm3 (B)3π cm3
(C)π cm3 (D)π cm3
【解析】选D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为
V＝πr2h－πr3＝3π－π＝π(cm3).
3.【解析】选A.正三棱柱的侧视图为矩形，其中，邻边长分别为2和，故侧视图面积为2.
4. 【解析】选B.几何体是直三棱柱，如图，且AC＝A1C1＝，
BC＝B1C1＝1.
∴几何体ABC－A1B1C1的体积为V＝Sh＝··1·＝1.
5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.
【解析】选B.由题意得该几何体中正四棱锥的侧棱长为1，底面正方形的对角线长为，故底面正方形的边长为1，所以几何体的表面积为8×(×12)＝2.
6.【解题指南】构造出关于a，b的关系式，利用基本不等式求最值.
【解析】选D.由题意知，该几何体的直观图如图所示，且AC＝，BD＝1，BC＝b，AB＝a.
设CD＝x，AD＝y，
则x2＋y2＝6，x2＋1＝b2，
y2＋1＝a2，消去x2，y2得a2＋b2＝8≥，
所以a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x＝，y＝，所以V＝××1××＝.
【误区警示】解答本题常见的错误是忽视a＋b取最大值这一条件.
7.【解题指南】将三棱锥的侧面展开，转化为平面图形处理.
【解析】如图所示，将三棱锥A—BCD沿侧棱AB剪开，将各个侧面展开成为一个平面，由于三棱锥A—BCD的各个面都是正三角形，所以展开的平面图中ABDC1是一个菱形，边长为2，当点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动时，沿三棱锥外表面从P到Q的最短距离应该是菱形ABDC1的对边AB和DC1之间的距离，等于×2＝.
答案：
8.【解析】设底面圆的半径为r，母线长为a，则侧面积为
×(2πr)a＝πra.由题意得，解得，故圆锥的高h＝＝5，
所以体积为V＝πr2h＝π××5＝π(cm3).
答案：π
9.【解析】因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形，且侧棱与底面直角边长相等的直三棱柱，原圆柱是底面半径与高相等的圆柱，设正方形的边长为a，则长方体体积为a3，三棱柱体积为a3，四分之一圆柱的体积为πa3，所以它们的体积之比为4∶2∶π.
答案：4∶2∶π
10.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体.
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2×2×＋2××()2
＝22＋4 (cm2)，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2
＝10(cm3).
11.【解析】设圆锥的高为x，半径为r，组合体的体积为V，
则r＝(00，V(x)为增函数；当101，∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.
由题意得＝2，解得x＝2.
即AB的长度为2.
(2)设长方体外接球的半径为R，则
(2R)2＝12＋12＋22＝6，
∴R2＝，∴S表＝4πR2＝6π.
即该长方体外接球的表面积为6π.
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