课时提能演练(四十二)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )
(A)a平行于α内的所有直线
(B)α内有无数条直线与a平行
(C)直线a上的点到平面α的距离相等
(D)α内存在无数条直线与a成90°角
2.下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.(2012·南昌模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
(A)a∥b，bα，则a∥α
(B)a、bα，a∥β，b∥β，则α∥β
(C)a⊥α，b∥α，则a⊥b
(D)当aα，且bα时，若b∥α，则a∥b
4.下列命题正确的是( )
(A)直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行
(B)如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行
(C)垂直于同一直线的两个平面平行
(D)直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直
5.(2012·陕西模拟)已知直线m，n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是( )
(A)m∥α，n∥α (B)m⊥α，n⊥α
(C)m∥α，nα (D) m，n与α所成的角相等
6.(预测题)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
其中正确的命题是( )
(A)①②③ (B)①④⑤ (C)①④ (D)①③④
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.考查下列两个命题，在“__________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a、b为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为__________．
8.(2012·晋城模拟)已知l、m、n是互不相同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β；
②若α∥β，lα，mβ，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为 .
9.(易错题)如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝ .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知如图：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.
(1)求证：EG∥平面BB1D1D；
(2)求证：平面BDF∥平面B1D1H.
11.(2012·大庆模拟)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点.
(1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；
(2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值.
【探究创新】
(16分)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面或垂直，所以A不正确，B、D正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确.
2.【解析】选B.a∩α＝A时，aα，∴①错；
直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
l∥α，l与α无公共点，∴l与α内任一直线都无公共点，④正确；长方体中A1C1与B1D1都与面ABCD平行，∴⑤正确.
3.【解析】选C.A选项是易错项，由a∥b，bα，也可能aα；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面.
4.【解析】选C.当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线在平面α内的射影平行，则可以为异面直线，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确.
5.【解析】选D.若m∥α，n∥α，则m与n可平行、可相交，也可能异面；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，但m∥n时，不一定有m⊥α，n⊥α；若m∥α，nα，则m与n可能平行，也可能异面；m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、可能相交，也可能异面，但若m∥n时，m，n与α所成的角相等.
6.【解析】选C.①④正确，②错在a、b可能相交或异面.
③错在α与β可能相交.⑤⑥错在a可能在α内.
7.【解析】①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“a为平面α外的直线”，即“aα”.它同样适合②，故填aα.
答案：aα
8.【解析】①中，当α、β不平行时，也可能存在符合条件的l、m；②中的直线l、m也可能异面；③中由l∥γ，lβ，γ∩β＝m得l∥m，同理l∥n，故m∥n.
答案：③
【变式备选】设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若aα，bα，a，b是异面直线，那么b∥α；
②若a∥α且b∥α，则a∥b；
③若aα，b∥α，a，b共面，那么a∥b；
④若α∥β，aα，则a∥β.
上面命题中，所有真命题的序号是 .
【解析】①中的直线b与平面α也可能相交，故不正确；
②中的直线a，b可能平行、相交或异面，故不正确；由线面平行的性质得③正确；由面面平行的性质可得④正确.
答案：③④
9.【解析】如图，连接AC，易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ.
又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.
又∵AP＝，
∴＝＝＝，
∴PQ＝AC＝a.
答案：a
【误区警示】本题中不能将PQ放在△DAC中来研究是常见的思维误区.
10.【证明】(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD∥B1D1.
如图，连接HB、D1F，
易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1＝D1，
BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.
11.【解析】(1)取B1C1中点G，连接EG、GD，
则EG∥A1B1，DG∥BB1，
又EG∩DG＝G，∴平面DEG∥平面ABB1A1，
又DE平面DEG，∴DE∥平面ABB1A1.
(2)设B1D交BC1于点F，
则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.
因为A1B∥平面B1DE，A1B平面A1BC1，
所以A1B∥EF.所以＝.
又因为＝＝，所以＝.
【探究创新】
【解题指南】(1)转化为线线平行来证明；(2)先猜想点P的位置，然后再证明.
【解析】(1)由棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质知AB1∥DC1，A1D∥B1C，AB1∩B1C＝B1，
A1D∩DC1＝D，∴平面AB1C∥平面DA1C1.
(2)存在这样的点P满足题意.
在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP，
∵B1BCC1，∴BB1CP，
∴四边形BB1CP为平行四边形，∴BP∥B1C，
又∵A1D∥B1C，∴BP∥A1D，
∴BP∥平面DA1C1.
【方法技巧】立体几何中探索性问题的解法
探索性问题是近几年高考中出现频率较高的题目，能较好地考查学生的猜想能力和推理能力.一般以判断点的存在性为主，用几何法解答探索性问题的一般步骤是：
先假设所求的点存在，然后在这一条件下进行推理论证，得出相关的结论.如果得出矛盾，则说明假设不成立，即不存在满足条件的点；如果得不出矛盾，则说明假设成立，即存在满足条件的点.
【变式备选】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】存在这样的点F，使面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点.证明如下：
∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴AFCD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥CF，
又AD平面ADD1A1，CF平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.
又CC1∥DD1，CC1平面ADD1A1，
DD1平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，
又CC1、CF平面C1CF，CC1∩CF＝C，
∴平面C1CF∥平面ADD1A1.
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