课时提能演练(四十三)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是 ( )
(A)若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
(B)若m∥n，m⊥α，则n⊥α
(C)若m⊥α，m⊥β，则α∥β
(D)若m⊥α，mβ，则α⊥β
2.(2012?铜川模拟)已知平面α，β，γ，直线l，m满足：
α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β
可由上述条件推出的结论有( )
(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③④
3.(预测题)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，mβ，给出四个命题：
①若α∥β，则l⊥m； ②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m； ④若l∥m，则α⊥β
其中真命题的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
4.(2011·浙江高考)下列命题中错误的是( )
(A)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
(B)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
(C)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
(D)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5.设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )
(A)当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
(B)当bα时，若b⊥β，则α⊥β
(C)当bα，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
(D)当bα，且cα时，若c∥α，则b∥c
6.(易错题)已知直线a平面α，直线AO⊥α，垂足为O，AP∩α＝P，若条件
p：直线OP不垂直于直线a，条件q：直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·西安模拟)已知：m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；
③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；
④若lβ，且l⊥α，则α⊥β；
⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l.
其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确的命题的序号都填上)
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
9.(2012·淄博模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起.下列说法正确的是 .(填上所有正确的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·韶关模拟)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点D、E分别是AA1、CC1的中点.
(1)求证：AE∥平面BC1D；
(2)证明：平面BC1D⊥平面BCD.
11.(2012?咸阳模拟)如图所示是一个几何体的直观图、主视图、俯视图和左视图(尺寸如图所示)；
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)求证：平面PBC⊥平面PABE；
(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.
【探究创新】
(16分)如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴运动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选A.因为A中的直线m、n也可能异面.
2. 【解析】选B.由条件 可得l⊥α.
又∵lβ，∴α⊥β.
故②④正确.
3.【解析】选C.由α∥β，l⊥α得l⊥β，故l⊥m，①正确；②中不一定得到l⊥β，因此α∥β不一定成立，故不正确；③中l、m可能相交、平行或异面，故不正确；由l⊥α，l∥m得m⊥α，又mβ，故α⊥β，正确.综上①④正确.
4.【解析】选D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的.
5.【解析】选B.当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.
6.【解析】选C.如图由AO⊥α，aα得AO⊥a，又OP⊥a，故a⊥平面AOP，从而a⊥AP.
反之，由AO⊥α，aα得AO⊥a，又a⊥AP，故a⊥平面AOP，从而a⊥OP.
故a⊥OP?a⊥AP，从而p?q.
7.【解析】由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；
对于②，若l∥α，mα，则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；
对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交(但不垂直)，不能推出α⊥β，故③不正确；
由面面垂直的判定定理知，④是正确的；
对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤不正确.故正确的命题是①④.
答案：①④
8.【解析】DM⊥PC (或BM⊥PC等).
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，
即BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(答案不唯一)
9.【解析】将△ADE沿AE折起后所得图形如图，取DE中点P，EC中点Q，连PM、
PQ、QN.
则PMAE，NQBC，
∴PMNQ，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴MN∥PQ，
又MN平面DEC，PQ平面DEC，
∴MN∥平面DEC，故①正确.
又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩CE＝E，
∴AE⊥平面DEC，∴AE⊥PQ，
∴AE⊥MN，故②正确.
由MN∥PQ，PQ与EC相交知MN与EC不平行，
从而MN与AB不会平行.
答案：①②
【方法技巧】解答此类问题时，一是要注意依据定理和已知条件才能得出结论，二是否定时只需举一个反例即可，三是要会寻找恰当的特殊模型进行筛选.(如手头的书和笔，正方体、三棱锥等，正方体是立体几何的百宝箱)
【变式备选】(2012·淮南模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在的直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线.
以上结论正确的是 .(写出所有正确结论的编号)
【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，由AB＝CD，PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错.
答案：①③
10.【证明】(1)在矩形ACC1A1中，
由C1E∥AD，C1E＝AD，
得AEC1D是平行四边形，所以AE∥DC1，
又AE平面BC1D，C1D平面BC1D，
所以AE∥平面BC1D.
(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，
而C1D平面ACC1A1，所以BC⊥C1D.
在矩形ACC1A1中，DC＝DC1＝，CC1＝2，
从而DC2＋DC＝CC，所以C1D⊥DC，
又DC∩BC＝C，所以C1D⊥平面BCD，
而C1D平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面BCD.
11.【解析】(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，
且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，
∴VP－ABCD＝PA·S正方形ABCD＝×4×4×4＝
(2)∵PA⊥平面ABCD，PA平面PABE，
∴平面ABCD⊥平面PABE.
又BC⊥AB，AB是平面ABCD与平面PABE的交线.
∴BC⊥平面PABE，
BC平面PBC
∴平面PBC⊥平面PABE.
(3)连接BP，∵＝＝，
∠EBA＝∠BAP＝90°
∴∠PBA＝∠BEA，
∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，
∴PB⊥AE.
又∵PB是平面PBC和平面EBAP的交线，
∴AE⊥平面PBC，
又∵PG平面PBC，
∴AE⊥PG.
【探究创新】
【解析】(1)取AB的中点E，连接DE，CE，
因为ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE，
由已知可得DE＝，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，
由(1)知AB⊥DE.
又因AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE，CE为相交直线，
所以AB⊥平面CDE，
又CD平面CDE，所以AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
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