课时提能演练(四十五) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( ) (A)a平行于α内的所有直线 (B)α内有无数条直线与a平行 (C)直线a上的点到平面α的距离相等 (D)α内存在无数条直线与a成90°角 2.(2012·常德模拟)a,b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是( ) (A)过A有且只有一个平面平行于a、b (B)过A至少有一个平面平行于a、b (C)过A有无数个平面平行于a、b (D)过A且平行于a、b的平面可能不存在 3.已知a,b是两条不重合的直线，α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( ) (A)a∥b，b?α，则a∥α (B)a、b?α，a∥β，b∥β，则α∥β (C)a⊥α，b∥α，则a⊥b (D)当a?α，且b
α时，若b∥α，则a∥b 4.(预测题)下列命题正确的是( ) (A)直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行 (B)如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行 (C)垂直于同一直线的两个平面平行 (D)直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直 5.设α,β是两个不同的平面，m,n是平面α内的两条不同直线，l1,l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( ) (A)m∥β且l1∥α (B)m∥β且n∥l2 (C)m∥β且n∥β (D)m∥l1且n∥l2 6.(2012·厦门模拟)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：





其中正确的命题是( ) (A)①②③ (B)①④⑤ (C)①④ (D)①③④ 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.考查下列两个命题，在“____________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a、b为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为__________．

8.(易错题)已知l、m、n是互不相同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β； ②若α∥β，l?α,m?β,则l∥m； ③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n. 其中所有真命题的序号为____________. 9.已知平面α∥平面β，P是α,β外一点，过点P的直线m分别与α,β交于A,C，过点P的直线n分别与α，β交于B，D，且PA=6，AC=9,PD=8，则BD的长为_________． 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2012·衡阳模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD.底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝
AD＝1，E为PD的中点. (1)求证：CE∥平面PAB； (2)求异面直线AB与PC所成的角的正切值. 11.(2012·大庆模拟)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点. (1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1； (2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求
的值.
【探究创新】 (16分)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 答案解析 1.【解析】选A.若直线a平行于平面α,则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面或垂直，所以A不正确，B、D正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确. 2.【解析】选D.过点A可作直线a′∥a,b′∥b,则a′∩b′=A,∴a′,b′可确定一个平面α,如果a
α,b
α,则a∥α，b∥α,由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在. 3.【解析】选C.A选项是易错项，由a∥b,b?α，也可能a?α；B中的直线a,b不一定相交，平面α,β也可能相交；C正确；D中的直线a,b也可能异面． 4.【解析】选C.当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线在平面α内的射影平行，则可以为异面直线，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确． 5.【解题指南】选出的条件能推出α∥β，而反之不成立． 【解析】选D.如图(1)，α∩β=l,m∥l,l1∥l, 满足m∥β且l1∥α,故排除A； 在图(2)中，m∥n∥l∥l2满足m∥β且n∥l2,故排除B； 如图(2)，α∩β=l,m∥n∥l,满足m∥β且n∥β,故排除C.
D中，当m∥l1且n∥l2时，由于m,n是平面α内的两条不同直线，故可得m,n相交，从而α∥β.反之，当α∥β时，不一定有m∥l1且n∥l2，如图(3). 6.【解析】选C.①④正确，②错在a、b可能相交或异面． ③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内． 7.【解析】①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是 “a为平面α外的直线”，即“a
α”．它同样适合②，故填a
α. 答案：a
α 8.【解析】①中，当α、β不平行时，也可能存在符合条件的l、m；②中的直线l、m也可能异面；③中由l∥γ,l?β,γ∩β=m得l∥m,同理l∥n,故m∥n. 答案：③ 【变式备选】设a,b为不重合的两条直线，α,β为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若a?α,b
α,a,b是异面直线，那么b∥α； ②若a∥α且b∥α，则a∥b； ③若a?α,b∥α,a,b共面，那么a∥b； ④若α∥β,a?α，则a∥β． 上面命题中，所有真命题的序号是________． 【解析】①中的直线b与平面α也可能相交，故不正确；②中的直线a,b可能平行、相交或异面，故不正确；由线面平行的性质得③正确；由面面平行的性质可得④正确． 答案：③④ 9.【解析】分两种情况考虑，即当点P在两个平面的同一侧和点P在两平面之间两种可能．由两平面平行得交线AB∥CD，截面图如图所示，
由三角形相似可得BD=
或BD=24. 答案：
或24 10.【解析】(1)取AD的中点F.连接EF，CF. 因E为PD的中点， BC＝
AD. 所以EF∥PA，CF∥AB. 所以面EFC∥面PAB， 所以CE∥面PAB. (2)由已知可得ABCF为平行四边形， 所以AB∥CF，∠PCF为所求的角， 可证CF⊥面PAD， 在直角三角形PCF中， tan∠PCF=
即异面直线AB与PC所成的角的正切值为
11.【解析】(1)取B1C1中点G，连接EG、GD， 则EG∥A1B1，DG∥BB1， 又EG∩DG=G，∴平面DEG∥平面ABB1A1， 又DE?平面DEG， ∴DE∥平面ABB1A1. (2)设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF. 因为A1B∥平面B1DE，A1B?平面A1BC1， 所以A1B∥EF.所以
. 又因为
，所以
. 【探究创新】 【解题指南】(1)转化为线线平行来证明；(2)先猜想点P的位置，然后再证明． 【解析】(1)由棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质知AB1∥DC1，A1D∥B1C，AB1∩B1C＝B1， A1D∩DC1＝D， ∴平面AB1C∥平面DA1C1. (2)存在这样的点P满足题意． 在C1C的延长线上取点P， 使C1C＝CP，连接BP， ∵B1B
CC1，∴BB1
CP， ∴四边形BB1CP为平行四边形， ∴BP∥B1C， 又∵A1D∥B1C, ∴BP∥A1D， ∴BP∥平面DA1C1． 【方法技巧】立体几何中探索性问题的解法 探索性问题是近几年高考中出现频率较高的题目，能较好地考查学生的猜想能力和推理能力．一般以判断点的存在性为主，用几何法解答探索性问题的一般步骤是： 先假设所求的点存在，然后在这一条件下进行推理论证，得出相关的结论．如果得出矛盾，则说明假设不成立，即不存在满足条件的点；如果得不出矛盾，则说明假设成立，即存在满足条件的点． 【变式备选】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB=2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】存在这样的点F，使面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：
∵AB∥CD，AB=2CD， ∴AF
CD，∴四边形AFCD为平行四边形， ∴AD∥CF， 又AD?平面ADD1A1，CF
平面ADD1A1， ∴CF∥平面ADD1A1. 又CC1∥DD1，CC1
平面ADD1A1， DD1?平面ADD1A1， ∴CC1∥平面ADD1A1， 又CC1、CF?平面C1CF，CC1∩CF＝C， ∴平面C1CF∥平面ADD1A1.

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