巩固双基,提升能力
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．合情推理就是归纳推理
B．合理推理的结论不一定正确，有待证明
C．演绎推理的结论一定正确，不需证明
D．类比推理是从特殊到一般的推理
解析：类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确.
答案：B
2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：方法一：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.
方法二：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，
都不是4，故只有3n－2＝4，故选C.
答案：C
3．(2011·珠海联考)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b＞0?a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0?a＞b”．其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.
答案：C
4．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则
f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11；f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f (10)＝f(8)＋f(9)＝123.
即a10＋b10＝123.
答案：C
5．古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，
an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
而图(2)中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1 225满足a49＝＝b35＝352＝1 225.
答案：C
6．(2013·浙江五校联考)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )
A. B. C. D.
解析：此题需要观察归纳数的排列规律，根据每个数是它下一行左右相邻两数的和的计算方法，由＝＋，得第8行前两个数为，，由＝＋，＝＋，得第9行前三个数为，，，又由＝＋，＝＋，＝＋，第10行前四个数为，，，，因此第10行第4个数为.
答案：C
二、填空题
7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________．
解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
8．(2013·南阳调研)观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．
解析：第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，
因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．
故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28，
即第6个图中有28个小正方形.
答案：28
9．(2012·福州模拟)根据三角恒等变换，可得如下等式：
cosθ＝cosθ；
cos2θ＝2cos2θ－1；
cos3θ＝4cos3θ－3cosθ；
cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；
cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ.
依此规律，猜想cos6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1，
其中m＋n＝__________.
解析：由所给的三角恒等变换等式可知，系数和常数项的和是1，
∴32＋m＋n－1＝1，∴m＋n＝－30.
答案：－30
三、解答题
10．(2012·福建)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：方法一：
(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
方法二：
(1)同解法一．
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.
11．(2013·青岛调研)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
解析：类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：
设点M、P的坐标分别为(m、n)，(x，y)，则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知双曲线上，
所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值).
12．(2013·济宁调研)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
① ② ③ ④
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解析：(1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－.
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