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课时提能演练(四十四)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·杭州模拟)设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，则正确的命题是( )
(A)若α⊥β，l⊥α，则l∥β
(B)若α⊥β，lα，则l⊥β
(C)若l⊥m，m⊥n，则l∥n
(D)若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
2.对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )
(A)m⊥n，m∥α，n∥β
(B)m⊥n，α∩β＝m，nα
(C)m∥n，n⊥β，mα
(D)m∥n，m⊥α，n⊥β
3.(2012·荆州模拟)如图，PA⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是( )
(A)PB⊥BC (B)PD⊥CD
(C)PD⊥BD (D)PA⊥BD
4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
(A)若l⊥α，α⊥β，则lβ
(B)若l∥α，α∥β，则lβ
(C)若l⊥α，α∥β，则l⊥β
(D)若l∥α，α⊥β，则l⊥β
5.(预测题)设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为( )
(A)α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
(B)n⊥α，n⊥β，m⊥α
(C)α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
(D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
6.(2012·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·丽水模拟)设正三棱锥S—ABC的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱SA与底面ABC所成角的大小是 .
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
9.(易错题)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在的直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线.
以上结论正确的是 .(写出所有正确结论的编号)
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.如图，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，设AB＝2.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角A－VD－B的正切值；
(3)E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V－ECD的体积.
11.(2012·绍兴模拟)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点.
(1)求证：CM⊥EM；
(2)求直线DE与平面CEM所成角的正切值.
【探究创新】
(16分)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
(3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.
答案解析
1.【解析】选D.对于选项A，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ.
对于选项B，若α⊥β，lα，则l与β的位置不确定.
对于选项C，若l⊥m，m⊥n，则l与n的位置可能为平行，相交或是异面直线.
对于选项D，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥β且m⊥n.
2.【解析】选C.如图，构造一个正方体ABCD－A1B1C1D1，把AD看作直线m，BB1看作直线n，把平面BB1C1C看作平面α，平面AA1C1C看作平面β，A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α、β不垂直，故不正确.类似地可否定B和D，故选C.
3.【解析】选C.由CB⊥BA，CB⊥PA，PA∩BA＝A，知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确.
4.【解析】选C.若l⊥α，α⊥β，
则lβ或l∥β，故A不对；
若l∥α，α∥β，则lβ或l∥β，故B不对；
若l⊥α，α∥β，则l⊥β，故C正确；
若l∥α，α⊥β，则l，β的位置不确定，故D不对.
5.【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错.由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.
6.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形，确定出所求的线面角是解题的关键，然后将所求的线面角转化为求三角形内的角.
【解析】选A.如图，二面角α－l－β为45°，ABβ，且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O，作AH⊥l于H.连接OH、OB，则∠AHO为二面角α－l－β的平面角，∠ABO为AB与平面α所成角.不妨设AH＝，在Rt△AOH中，易得AO＝1；在Rt△ABH中，易得AB＝2.
故在Rt△ABO中，sin∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，为所求线面角.
【方法技巧】求线面角的步骤
(1)作：根据直线与平面所成角的定义作出线面角；
(2)证：通过推理说明所作出的角即为所求角；
(3)求：在直角三角形中求出该角；
(4)作出结论.
7.【解析】如图所示，由正棱锥的概念可知SO⊥面ABC且O为正△ABC的中心，
∴AE＝×3，
AO＝AE＝，
SA在底面ABC内的射影为AO，∴∠SAO即为所求.
∴cos∠SAO＝＝，∴∠SAO＝30°.
答案：30°
8.【解析】DM⊥PC(或BM⊥PC等).
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，
BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(答案不唯一)
9.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，由AB＝CD，PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错.
答案：①③
10.【解析】(1)∵平面VAD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形.
∴AB⊥AD.
又平面VAD∩底面ABCD＝AD.
故AB⊥平面VAD.
(2)如图，取VD的中点F，连接AF，BF.
∵△VAD是正三角形，
∴AF⊥VD，AF＝AD.
根据(1)AB⊥平面VAD.
∴AB⊥VD.∴VD⊥平面ABF.
∴BF⊥VD.
∴∠AFB为面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角.
∴tan∠AFB＝＝.
(3)由(1)可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD.∴平面VAD⊥平面ECD.
又∵△VAD是正三角形，
∴当E是VA中点时，ED⊥VA.
∴VA⊥面EDC，∴面VAB⊥面EDC.
此时三棱锥V－EDC的体积等于三棱锥C－VED的体积，
VC－EDV＝·S△VED·DC＝×××1×2＝.
11.【解析】(1)因为AC＝BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB.又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EA.
因为AB∩EA＝A，所以CM⊥平面EAB.
所以CM⊥EM.
(2)连接MD，设EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a，
在直角梯形ABDE中，AB＝2a，
M是AB的中点，所以DE＝3a，EM＝a，
DM＝a，由DE2＝EM2＋DM2，得△DEM是直角三角形，其中DM⊥EM，又因为DM⊥CM，
因为EM∩CM＝M，所以DM⊥平面CEM.
所以∠DEM是直线DE和平面CEM所成的角.
在Rt△DEM中，tan∠DEM＝＝＝，
故直线DE与平面CEM所成角的正切值为.
【探究创新】
【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.
(2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.
(3)找到二面角的平面角，在三角形中利用余弦定理求解.
【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.
∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PC＝×12×2＝，
即四棱锥P－ABCD的体积为.
(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC.
∵PC⊥底面ABCD，且BD平面ABCD，
∴BD⊥PC.
又∵AC∩PC＝C，
∴BD⊥平面PAC.
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC.
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.
(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF.
∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，
AE＝AE＝，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，
∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角.
在Rt△ADE中，DF＝＝＝，
∴BF＝.
又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB＝＝－，
∴∠DFB＝，
即二面角D－AE－B的大小为.
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