课时提能演练(四十六) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·沈阳模拟)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,m?β,则“α∥β”是“l⊥m”的( ) (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 2.对于直线m、n和平面α、β,能得出α⊥β的一个条件是( ) (A)m⊥n，m∥α，n∥β (B)m⊥n，α∩β=m，n?α (C)m∥n，n⊥β，m?α (D)m∥n，m⊥α，n⊥β 3.(2012·荆州模拟)如图，PA⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是( )
(A)PB⊥BC (B)PD⊥CD (C)PD⊥BD (D)PA⊥BD 4.(易错题)a,b,c是三条直线，α,β是两个平面，b?α，c
α则下列命题不成立的是( ) (A)若α∥β，c⊥α，则c⊥β (B)“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题 (C)若a是c在α内的射影，a⊥b，则b⊥c (D)“若b∥c，则c∥α”的逆否命题 5.(2012·株洲模拟)设m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α,n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α,则m⊥γ ③若m∥α,n∥α,则m∥n ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β 其中正确命题的序号是( ) (A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④ 6.(2012·长沙模拟)在四面体ABCD中，已知棱AC的长为
，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为( ) (A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题(每小题6分，共18分) 7.设l,m,n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题 ①若l⊥α，则l与α相交 ②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α ③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α ④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n 其中正确命题的序号为__________. 8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
9.(2012·淮南模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 ①棱AB与PD所在的直线垂直； ②平面PBC与平面ABCD垂直； ③△PCD的面积大于△PAB的面积； ④直线AE与直线BF是异面直线. 以上结论正确的是__________.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(易错题)如图所示，AD⊥平面ABC， CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=
，凸多面体 ABCED的体积为
，F为BC的中点. (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：平面BDE⊥平面BCE. 11.如图，已知直角梯形ABCD的上底BC=
，BC∥AD，BC=
AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形. (1)证明：AB⊥PB； (2)求二面角P-AB-D的大小. (3)求三棱锥A-PBD的体积.
【探究创新】 (16分)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点.

(1)求四棱锥P－ABCD的体积； (2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论； (3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小. 答案解析 1.【解析】选B.当α∥β,l⊥α时，有l⊥β, 又m?β,故l⊥m. 反之，当l⊥m,m?β时，不一定有l⊥β, 故α∥β不一定成立. 因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件. 2.【解析】选C.如图，构造一个正方体ABCD-A1B1C1D1， 把AD看作直线m,BB1看作直线n,把平面BB1C1C看作平 面α,平面AA1C1C看作平面β,A虽满足m⊥n,m∥α, n∥β,但α、β不垂直，故不正确.类似地可否定 B和D，故选C. 3.【解析】选C.由CB⊥BA，CB⊥PA，PA∩BA=A，知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确. 4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b?α，c
α，b∥c，∴c∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确.当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β，故B不成立. 【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素. 5.【解析】选A.③若m∥α,n∥α,则m∥n,而平行同一个平面的两条直线有三种位置关系，④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β，而垂直于同一个平面的两个平面也可以相交. 6.【解析】选C.取AC的中点E，取CD的中点F，连接BE，BF，EF，EF＝
BE＝
BF＝
故BE⊥EF，又EF⊥DC，BF⊥CD，所以∠BFE为所求角， cos∠BFE=
7.【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n,又l⊥α，故n⊥α，从而③正确；由m⊥α,n⊥α知m∥n,故l∥n,故④正确. 答案：①③④ 8.【解析】DM⊥PC(或BM⊥PC等). ∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD， 又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC， BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(答案不唯一) 9.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；S△PCD=
CD·PD，S△PAB=
AB·PA，由AB=CD，PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错. 答案：①③ 10.【证明】(1)∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC， ∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED， ∵BC2=AC2+AB2， ∴AB⊥AC， ∵平面ABC∩平面ACED=AC， ∴AB⊥平面ACED， 即AB为四棱锥B-ACED的高， ∵VB-ACED=
·SACED·AB=
×
×(1+CE)×1×1=
，∴CE=2， 取BE的中点G，连接GF，GD， ∴GF为三角形BCE的中位线， ∴GF∥EC∥DA， GF=
CE=DA， ∴四边形GFAD为平行四边形， ∴AF∥GD， 又GD?平面BDE，AF
平面BDE, ∴AF∥平面BDE. (2)∵AB=AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC， 又GF⊥AF，BC∩GF=F， ∴AF⊥平面BCE， ∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE， 又GD?平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BCE. 【误区警示】解题时往往忽视“凸多面体ABCED的体积为
”这一条件的应用. 11.【解析】(1)在直角梯形ABCD中， 因为AD=2
，BC=
，CD=2, 所以
. 因为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD， 所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP中，
. 因为BC∥AD，所以AD⊥平面PDC， 所以在Rt△PAD中，
. 所以在△PAB中，PA2=AB2+PB2， 所以AB⊥PB. (2)设线段DC的中点为E，连接PE，EB 因为△PCD是等边三角形， 所以PE⊥DC， 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，
所以PE⊥平面ABCD， 因此AB⊥PE， 由(1)知AB⊥PB， 所以AB⊥平面PEB， 所以AB⊥BE， 因此∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角， 在Rt△PBE中，
， 所以∠PBE=
. (3)VA-PBD=VP-ABD=
S△ABD·PE
【探究创新】 【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度. (2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直. (3)找到二面角的平面角，在三角形中利用余弦定理求解. 【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ∴VP－ABCD=
S正方形ABCD·PC=
×12×2=
， 即四棱锥P－ABCD的体积为
. (2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD， ∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC. ∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC. ∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE. (3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF. ∵AD=AB=1，DE=BE=
，AE=AE=
， ∴Rt△ADE≌Rt△ABE， 从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE. ∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角. 在Rt△ADE中，
， ∴BF=
. 又BD=
，在△DFB中，由余弦定理得
，∴∠DFB=
， 即二面角D－AE－B的大小为
. 【方法技巧】求线面角的步骤 (1)作：根据直线与平面所成角的定义作出线面角； (2)证：通过推理说明所作出的角即为所求角； (3)求：在直角三角形中求出该角； (4)作出结论.

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