课时提能演练(四十五)
(45分钟100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
(A)y轴上 (B)xOy平面上
(C)xOz平面上 (D)yOz平面上
2.在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( )
(A)(0，，0) (B)(0，，)
(C)(1,0，) (D)(1， ，0)
3.以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )
(A)(0，，) (B)(，0，)
(C)(，，0) (D)(，，)
4.到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足
( )
(A)x＋y＋z＝－1 (B)x＋y＋z＝1
(C)x＋y＋z＝4 (D)x＋y＋z＝0
5.(2012·衡阳模拟)在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′，则点M′关于原点对称的点的坐标为( )
(A)(－2,0，－3) (B)(－3,0，－2)
(C)(2,0,3) (D)(－2,0,3)
6.(2012·福州模拟)若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|AB|的取值范围是( )
(A)[0,5] (B)[1,5] (C)(0,5) (D)[1,25]
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(易错题)给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为 .
8.已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2).则过A点的中线长为 .
9.如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点，则M、N之间的距离为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·广州模拟)如图，已知正四面体A－BCD的棱长为1，E，F分别为棱AB、CD的中点.
(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A，B，C，D的坐标.
(2)求EF的长.
11.解答下列各题：
(1)已知实数x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝4，求x2＋y2＋z2的最小值.
(2)已知空间四个点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，求三棱锥O－ABC的体积.
【探究创新】
(16分)在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3).
(1)在y轴上是否存在点M，使|MA|＝|MB|成立？
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.
2.【解析】选D.由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同.从而点Q的坐标为(1，，0).
3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点，由于A(0,0,0)，B1(1,0,1)，所以AB1的中点坐标为(，0，).
4.【解析】选D.到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C应满足
||2＝||2，
即(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，化简得x＋y＋z＝0.
5.【解析】选C.由题意得，点M′的坐标为(－2,0，－3)，故点M′关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).
【变式备选】点M(x，y，z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面xOz内的射影为M3，则M3的坐标为( )
(A)(－x，－y，－z)
(B)(x，y，z)
(C)(0,0,0)
(D)(，，)
【解析】选C.依题意得，M1的坐标为(x，y,0)，M2的坐标为(0，y,0)，M3的坐标为(0,0,0).
6.【解题指南】利用两点间距离公式求出|AB|，然后结合三角函数知识求范围.
【解析】选B.
∵|AB|＝
＝
＝.
∴≤|AB|≤，
即1≤|AB|≤5.
7.【解析】设点P的坐标是(x,0,0)，
由题意得，|P0P|＝，
即＝，
∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(－1,0,0).
答案：(9,0,0)或(－1,0,0)
【误区警示】解答本题时容易忽视解的讨论而造成结果不全.
【变式备选】在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为 .
【解析】设点C的坐标为(0,0，z)，
由条件得|AC|＝|BC|，
即
＝，
解得z＝.
答案：(0,0，)
8.【解析】由题意知BC的中点为D(4,1，－2)，
故|AD|＝＝2.
答案：2
9.【解析】由题意可知
M(1,0，)，N(，1,0)，
所以|MN|＝
＝.
答案：
【变式备选】如图，BC＝4，原点O是BC的中点，点A(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长度为 .
【解题指南】先求点的坐标，再利用两点间距离公式求线段长度.
【解析】由于点D在平面yOz上，
所以点D的横坐标为0，
又BC＝4，原点O是BC的中点，
∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
∴点D的竖坐标z＝4×sin30°×sin60°＝，
纵坐标y＝－(2－4×sin30°×cos60°)＝－1.
∴D(0，－1，).
∴|AD|＝＝.
答案：
10.【解题指南】正四面体也是正三棱锥，即其顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高，以底面正三角形的中心为原点，高为z轴，建立空间直角坐标系.
【解析】(1)设底面正三角形BCD的中心为点O，连接AO，DO，延长DO交BC于点M，则AO⊥平面BCD，M是BC的中点，且DM⊥BC，过点O作ON∥BC，交CD于点N，则ON⊥DM，故以O为坐标原点，OM，ON，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵正四面体A－BCD的棱长为1，O为底面△BCD的中心.
∴OD＝·DM＝＝，OM＝DM＝.
OA＝＝＝.
∴A(0,0，)，B(，－，0)，C(，，0)，D(－，0,0).
(2)由(1)及中点坐标公式得E(，－，)，F(－，，0)，
∴|EF|＝＝.
【变式备选】如图，在四面体ABCD中，点A(0,0，a)，AB⊥平面BCD，BC＝CD，
∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求D、C、E、F四点的坐标.
【解析】由题意知，在Rt△ABD中，AB＝a，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝a，∴D(0，a,0).
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，从C点向x轴、y轴作垂线，则垂线段的长度都为BD＝a，
∴C(a，a,0)，又A(0,0，a)，
∴点E坐标为(，，)＝(a，a，)，
点F坐标为(，，)＝(0，，).
11.【解析】(1)由已知得，点P(x，y，z)在以M(3,4,0)为球心，2为半径的球面上，x2＋y2＋z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小.
此时|OP|＝|OM|－2＝－2＝3.
∴|OP|2＝9.
即x2＋y2＋z2的最小值是9.
(2)由题意可知，O，A，B，C为一正方体中的四个顶点，且该正方体的棱长为1，其中VO－ABC＝V正方体－4V三棱锥＝1－＝.
【探究创新】
【解题指南】(1)先假设点M存在，然后利用两点间距离公式作出判断.(2)先假设点M存在，然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解.
【解析】(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，可设点M(0，y,0)，则
＝，
由于上式对任意实数都成立，故y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立.
(2)假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形.
由(1)可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|＝＝，
|AB|＝2.
于是＝2，
解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).
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