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课时提能演练(四十五)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
(A)y轴上 (B)xOy平面上
(C)xOz平面上 (D)yOz平面上
2.在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( )
(A)(0，，0) (B)(0，，)
(C)(1,0，) (D)(1，，0)
3.(2012·嘉兴模拟)以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )
(A)(0，，) (B)(，0，)
(C)(，，0) (D)(，，)
4.到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( )
(A)x＋y＋z＝－1 (B)x＋y＋z＝1
(C)x＋y＋z＝4 (D)x＋y＋z＝0
5.(2012·丽江模拟)点M(x，y，z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面xOz内的射影为M3，则M3的坐标为( )
(A)(－x，－y，－z)
(B)(x，y，z)
(C)(0,0,0)
(D)(，，)
6.(易错题)若两点的坐标是A(3cosα，3sinα ,1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|AB|的取值范围是( )
(A)[0,5] (B)[1,5]
(C)(0,5) (D)[1,25]
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(易错题)给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为 .
8.已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为 .
9.(2012·宁波模拟)如图，已知矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内，则A点坐标为 ，C点坐标为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·宜昌模拟)如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，M、N分别是线段AD1和BD的中点.
(1)证明：直线MN∥平面B1CD1；
(2)设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B1、M两点的坐标，并求线段B1M的长.
11.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3).
(1)在y轴上是否存在点M，使|MA|＝|MB|成立？
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【探究创新】
(16分)解答下列各题：
(1)已知实数x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝4，求x2＋y2＋z2的最小值.
(2)已知空间四个点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，求三棱锥O－ABC的体积.
答案解析
1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.
2.【解析】选D.由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同.从而点Q的坐标为(1，，0).
3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点，由于A(0,0,0)，B1(1,0,1)，
所以AB1的中点坐标为(，0，).
4.【解析】选D.到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C应满足
| |2＝| |2，
即(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，化简得x＋y＋z＝0.
5.【解析】选C.依题意得，M1的坐标为(x，y,0)，M2的坐标为(0，y,0)，M3的坐标为(0,0,0).
6.【解题指南】利用两点间距离公式求出|AB|，然后结合三角函数知识求范围.
【解析】选B.
∵|AB|＝
＝
＝.
∴≤|AB|≤，
即1≤|AB|≤5.
7.【解析】设点P的坐标是(x,0,0)，
由题意得，|P0P|＝，
即＝，
∴(x－4)2＝25.
解得x＝9或x＝－1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(－1,0,0).
答案：(9,0,0)或(－1,0,0)
【误区警示】解答本题时容易忽视对解的讨论而造成结果不全.
【变式备选】在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为 .
【解析】设点C的坐标为(0,0，z)，
由条件得|AC|＝|BC|，
即
＝，
解得z＝.
答案：(0,0，)
8.【解析】由题意知BC的中点为D(4,1，－2)，
故|AD|＝＝2.
答案：2
9.【解析】由于面BCD⊥面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线，同理从面ABD引棱DB的垂线AE即为面BCD的垂线，
∵矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，∴BD＝5，
在直角三角形DAB与直角三角形DCB中，由射影定理知
|DA|2＝|DE|×|BD|，即9＝|DE|×5，得|DE|＝，
|BC|2＝|BF|×|BD|，即9＝|BF|×5得|BF|＝，
由勾股定理可解得|CF|＝|AE|＝，
故|EF|＝5－|DE|－|BF|＝5－－＝，
∴|DF|＝|DE|＋|EF|＝＋＝，
故在空间坐标系中，得A，C两点的坐标为A(，，0)，C(0，，).
答案：(，，0) (0，，)
10.【解析】(1)连接CD1、AC，则N是AC的中点，
在△ACD1中，又M是AD1的中点，
∴MN∥CD1.
又MN平面B1CD1，CD1平面B1CD1，
∴MN∥平面B1CD1.
(2)由条件知B1(a，a，a)，M(，0，)，
∴|B1M|＝＝a，
即线段B1M的长为a.
11.【解题指南】(1)先假设点M存在，然后利用两点间距离公式作出判断.(2)先假设点M存在，然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解.
【解析】(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，可设点M(0，y,0)，则
＝，
由于上式对任意实数都成立，故y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立.
(2)假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形.
由(1)可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|＝＝，
|AB|＝2.
于是＝2，
解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).
【探究创新】
【解析】(1)由已知得，点P(x，y，z)在以M(3,4,0)为球心，2为半径的球面上，x2＋y2＋z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小.
此时|OP|＝|OM|－2＝－2＝3.
∴|OP|2＝9.
即x2＋y2＋z2的最小值是9.
(2)由题意可知，O，A，B，C为一正方体中的四个顶点，且该正方体的棱长为1，其中VO－ABC＝V正方体－4V三棱锥＝1－＝.
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