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课时提能演练(四十五)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
(A)y轴上 (B)xOy平面上
(C)xOz平面上 (D)yOz平面上
2.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面xOy的垂线PQ,则Q的坐标为( )
(A)(0,,0) (B)(0,,)
(C)(1,0,) (D)(1,,0)
3.(2012·嘉兴模拟)以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )
(A)(0,,) (B)(,0,)
(C)(,,0) (D)(,,)
4.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )
(A)x+y+z=-1 (B)x+y+z=1
(C)x+y+z=4 (D)x+y+z=0
5.(2012·丽江模拟)点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影为M1,M1在坐标平面yOz内的射影为M2,M2在坐标平面xOz内的射影为M3,则M3的坐标为( )
(A)(-x,-y,-z)
(B)(x,y,z)
(C)(0,0,0)
(D)(,,)
6.(易错题)若两点的坐标是A(3cosα,3sinα ,1),B(2cosβ,2sinβ,1),则|AB|的取值范围是( )
(A)[0,5] (B)[1,5]
(C)(0,5) (D)[1,25]
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.(易错题)给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为,则该点的坐标为 .
8.已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则过A点的中线长为 .
9.(2012·宁波模拟)如图,已知矩形ABCD中,|AD|=3,|AB|=4,将矩形ABCD沿对角线BD折起,使得面BCD⊥面ABD.现以D为原点,DB作为y轴的正方向,建立如图空间直角坐标系,此时点A恰好在xDy坐标平面内,则A点坐标为 ,C点坐标为 .
三、解答题(每小题15分,共30分)
10.(2012·宜昌模拟)如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,M、N分别是线段AD1和BD的中点.
(1)证明:直线MN∥平面B1CD1;
(2)设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,若以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,试写出B1、M两点的坐标,并求线段B1M的长.
11.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1),B(1,0,-3).
(1)在y轴上是否存在点M,使|MA|=|MB|成立?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
【探究创新】
(16分)解答下列各题:
(1)已知实数x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=4,求x2+y2+z2的最小值.
(2)已知空间四个点O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),求三棱锥O-ABC的体积.
答案解析
1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.
2.【解析】选D.由于点Q在xOy内,故其竖坐标为0,又PQ⊥xOy平面,故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同.从而点Q的坐标为(1,,0).
3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点,由于A(0,0,0),B1(1,0,1),
所以AB1的中点坐标为(,0,).
4.【解析】选D.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C应满足
| |2=| |2,
即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得x+y+z=0.
5.【解析】选C.依题意得,M1的坐标为(x,y,0),M2的坐标为(0,y,0),M3的坐标为(0,0,0).
6.【解题指南】利用两点间距离公式求出|AB|,然后结合三角函数知识求范围.
【解析】选B.
∵|AB|=
=
=.
∴≤|AB|≤,
即1≤|AB|≤5.
7.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),
由题意得,|P0P|=,
即=,
∴(x-4)2=25.
解得x=9或x=-1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
答案:(9,0,0)或(-1,0,0)
【误区警示】解答本题时容易忽视对解的讨论而造成结果不全.
【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为 .
【解析】设点C的坐标为(0,0,z),
由条件得|AC|=|BC|,
即
=,
解得z=.
答案:(0,0,)
8.【解析】由题意知BC的中点为D(4,1,-2),
故|AD|==2.
答案:2
9.【解析】由于面BCD⊥面ABD,从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线,同理从面ABD引棱DB的垂线AE即为面BCD的垂线,
∵矩形ABCD中,|AD|=3,|AB|=4,∴BD=5,
在直角三角形DAB与直角三角形DCB中,由射影定理知
|DA|2=|DE|×|BD|,即9=|DE|×5,得|DE|=,
|BC|2=|BF|×|BD|,即9=|BF|×5得|BF|=,
由勾股定理可解得|CF|=|AE|=,
故|EF|=5-|DE|-|BF|=5--=,
∴|DF|=|DE|+|EF|=+=,
故在空间坐标系中,得A,C两点的坐标为A(,,0),C(0,,).
答案:(,,0) (0,,)
10.【解析】(1)连接CD1、AC,则N是AC的中点,
在△ACD1中,又M是AD1的中点,
∴MN∥CD1.
又MN平面B1CD1,CD1平面B1CD1,
∴MN∥平面B1CD1.
(2)由条件知B1(a,a,a),M(,0,),
∴|B1M|==a,
即线段B1M的长为a.
11.【解题指南】(1)先假设点M存在,然后利用两点间距离公式作出判断.(2)先假设点M存在,然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解.
【解析】(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,可设点M(0,y,0),则
=,
由于上式对任意实数都成立,故y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立.
(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.
由(1)可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立,所以只要再满足|MA|=|AB|,就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|==,
|AB|=2.
于是=2,
解得y=±.
故y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,此时点M的坐标为(0,,0)或(0,-,0).
【探究创新】
【解析】(1)由已知得,点P(x,y,z)在以M(3,4,0)为球心,2为半径的球面上,x2+y2+z2表示原点O与点P的距离的平方,显然当O,P,M共线且P在O与M之间时,|OP|最小.
此时|OP|=|OM|-2=-2=3.
∴|OP|2=9.
即x2+y2+z2的最小值是9.
(2)由题意可知,O,A,B,C为一正方体中的四个顶点,且该正方体的棱长为1,其中VO-ABC=V正方体-4V三棱锥=1-=.
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