课时提能演练(四十七) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) (A)y轴上 (B)xOy平面上 (C)xOz平面上 (D)yOz平面上 2.在空间直角坐标系中，点
过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( ) (A)(0,
,0) (B)(0,
,
) (C)(1,0,
) (D)(1,
,0) 3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )
(A) (0,
,
) (B)(
,0,
) (C)(
,
,0) (D)(
,
,
) 4.到点A(-1，-1，-1)，B(1，1，1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( ) (A)x+y+z=-1 (B)x+y+z=1 (C)x+y+z=4 (D)x+y+z=0 5.(2012·丽江模拟)点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面xOz内的射影为M3，则M3的坐标为( ) (A)(-x,-y,-z) (B)(x,y,z) (C)(0,0,0) (D)(
,
,
) 6.(易错题)若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1),B(2cosβ, 2sinβ,1),则|AB|的取值范围是( ) (A)［0,5］ (B)［1,5］ (C)(0,5) (D)［1,25］ 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2011·长春模拟)已知A(-1,-2,1)、B(2,2,2)，点P在z轴上，且
则点P的坐标为________. 8.(2012·株洲模拟)已知x、y、z满足方程C:(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2，则x2+y2+z2的最小值是____________. 9.(2011·温州模拟)如图，BC=4，原点O是BC的中点，点A(
,
,0),点D在平面yOz上，且∠BDC=90°,∠DCB=30°，则AD的长度为_________.
三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2012·衡阳模拟)已知A(1，2，-1)，B(2，0，2). (1)在x轴上求一点P，使｜PA｜＝｜PB｜； (2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹. 11.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1),B(1,0,-3). (1)在y轴上是否存在点M，使|MA|=|MB|成立? (2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【探究创新】 (16分)解答下列各题: (1)已知实数x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=4,求x2+y2+z2的最小值. (2)已知空间四个点O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),求三棱锥O-ABC的体积. 答案解析 1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上. 2.【解析】选D.由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同．从而点Q的坐标为(1,
,0). 3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点，由于A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为(
,0,
). 4.【解析】选D.到点A(-1，-1，-1)，B(1，1，1)的距离相等的点C应满足
， 即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2，化简得x+y+z=0. 5.【解析】选C.依题意得，M1的坐标为(x,y,0),M2的坐标为(0,y,0),M3的坐标为(0,0,0). 【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧 (1)关于哪个轴对称，对应轴上的坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数； (2)关于坐标平面对称，另一轴上的坐标变为原来的相反数，其余不变； (3)关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数； (4)空间求对称点的坐标的方法，可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆. 6.【解题指南】利用两点间距离公式求出|AB|，然后结合三角函数知识求范围. 【解析】选B.∵|AB|=


. ∴
, 即1≤|AB|≤5. 7.【解析】∵P在z轴上，∴设P点坐标为(0,0,z), 又∵
∴利用距离公式得z=3. 答案：(0,0,3) 8.【解析】x2+y2+z2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为
=32. 答案：32 9.【解题指南】先求点的坐标，再利用两点间距离公式求线段长度. 【解析】由于点D在平面yOz上， 所以点D的横坐标为0， 又BC=4，原点O是BC的中点， ∠BDC=90°,∠DCB=30°. ∴点D的竖坐标z=4×sin30°×sin60°=
, 纵坐标y=-(2-4×sin30°×cos60°)=-1. ∴D(0,-1,
). ∴|AD|
. 答案：
10.【解析】(1)设P(a,0,0)，则由已知，得
即a2-2a+6=a2-4a+8，解得a=1, 所以P点坐标为(1，0，0). (2)设M(x,0,z)，则有
整理得2x+6z-2=0,即x+3z-1=0. 故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线. 11.【解题指南】(1)先假设点M存在，然后利用两点间距离公式作出判断.(2)先假设点M存在,然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解. 【解析】(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|=|MB|，可设点M(0,y,0)，则
, 由于上式对任意实数都成立，故y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立. (2)假设在y轴上存在点M(0,y,0)，使△MAB为等边三角形. 由 (1)可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立，所以只要再满足|MA|=|AB|，就可以使△MAB为等边三角形. 因为|MA|
, |AB|=
. 于是
， 解得y=±
. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0,
,0)或 (0,-
,0). 【探究创新】 【解析】(1)由已知得,点P(x，y，z)在以M(3，4，0)为球心，2为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小. 此时|OP|=|OM|-2=
=3. ∴|OP|2=9. 即x2+y2+z2的最小值是9. (2)由题意可知，O,A,B,C为一正方体中的四个顶点，且该正方体的棱长为1，其中VO-ABC=V正方体-4V三棱锥
.

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