温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 课时提能演练(四十六) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·杭州模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若
＝a，
＝b，
＝c，则下列向量中与
相等的向量是(　　)
(A)－a＋b＋c　　　　　(B)a＋b＋c (C)a－b＋c (D)－a－b＋c 2.已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝(3，λ，)平行，则λ＝(　　) (A) (B) (C)－ (D)－ 3.有以下命题： ①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线； ②O，A，B，C为空间四点，且向量
，
，
不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面； ③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底.其中正确的命题是(　　) (A)①②　 　(B)①③　 　(C)②③　　 (D)①②③ 4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足
·
＝0，
·
＝0，
·
＝0，则△BCD的形状是(　　) (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)无法确定 5.(2012·西安模拟)已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点(如图)，则
＝ (
＋
＋
)是O为△BCD重心的(　　) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 6.(预测题)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在
上且
＝
，N为B1B的中点，则|
|为(　　) (A) (B) (C) (D) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012·台州模拟)在空间四边形ABCD中，
·
＋
·
＋
·
＝　　　. 8.已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且
＝2x
＋3y
＋4z
，则2x＋3y＋4z＝　　　. 9.(易错题)空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2). (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得
⊥b？(O为原点) 11.(2012·杭州模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点.
(1)求
的模； (2)求cos〈
，
〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M. 【探究创新】 (16分)在棱长为1的正四面体OABC中，若P是底面ABC上的一点，求|OP|的最小值. 答案解析 1.【解析】选A.
＝
＋
＝
＋
＝c＋(
－
)＝c＋(b－a) ＝－a＋b＋c. 【变式备选】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若
＝
＋x
＋y
，则x、y的值分别为(　　) (A)x＝1，y＝1 (B)x＝1，y＝ (C)x＝，y＝ (D)x＝，y＝1 【解析】选C. 如图，
＝
＋
＝
＋
＝
＋ (
＋
)， 所以x＝，y＝. 2.【解析】选C.由a∥b得，＝＝，解得λ＝－. 3.【解析】选C.对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确. 4.【解题指南】通过
·
，
·
，
·
的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状. 【解析】选C.
·
＝(
－
)·(
－
) ＝
·
－
·
－
·
＋
2＝
2>0， 同理
·
>0，
·
>0. 故△BCD为锐角三角形. 5.【解析】选C.若O是△BCD的重心，则
＝
＋
＝
＋×(
＋
)＝
＋(
＋
)＝
＋(
－
＋
－
)＝(
＋
＋
)， 若
＝(
＋
＋
)， 则
－
＋
－
＋
－
＝0， 即
＋
＋
＝0. 设BC的中点为P，则－2
＋
＝0， ∴
＝－2
，即O为△BCD的重心. 6.【解析】选A.如图，设
＝a，
＝b，
＝c， 则a·b＝b·c＝c·a＝0. 由条件知
＝
＋
＋
＝－(a＋b＋c)＋a＋c ＝a－b＋c ∴
2＝a2＋b2＋c2＝，∴|
|＝. 7.【解析】设
＝b，
＝c，
＝d， 则
＝d－c，
＝d－b，
＝c－b. 原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c·(d－b)＝0. 答案：0 8.【解析】∵A，B，C，D四点共面， ∴
＝m
＋n
＋p
，且m＋n＋p＝1. 由条件知
＝－2x
－3y
－4z
， ∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1.∴2x＋3y＋4z＝－1. 答案：－1 9.【解析】由题意知
·
＝
·(
－
)＝
·
－
·
＝8×4×cos45°－8×6×cos60°＝16－24. ∴cos〈
，
〉＝
＝＝. ∴OA与BC所成角的余弦值为. 答案： 【误区警示】本题常误认为〈
，
〉即为OA与BC所成的角. 【变式备选】已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若
＝2
，则|
|的值是　　　. 【解析】设P(x，y，z)，则
＝(x－1，y－2，z－1)，
＝(－1－x,3－y,4－z)， 由
＝2
知x＝－，y＝，z＝3， 故P(－，，3). 由两点间距离公式可得|
|＝. 答案： 10.【解析】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a＋b|＝＝5. (2)令
＝t
(t∈R)，所以
＝
＋
＝
＋t
＝(－3，－1,4)＋ t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)， 若
⊥b，则
·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得t＝. 因此存在点E，使得
⊥b，此时E点的坐标为(－，－，). 【变式备选】已知b与a＝(2，－1,2)共线，且满足a·b＝18，(ka＋b)⊥(ka－b)，求b及k的值. 【解析】∵a，b共线， ∴存在实数λ，使b＝λa. ∴a·b＝λa2＝λ|a|2＝λ( ) 2＝18， 解得λ＝2. ∴b＝(4，－2,4). ∵(ka＋b)⊥(ka－b)， ∴(ka＋b)·(ka－b)＝0， ∴(ka＋2a)·(ka－2a)＝(k2－4)|a|2＝0， ∴k＝±2. 11.【解析】如图，建立空间直角坐标系Oxyz. (1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)， ∴|
|＝＝.
(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、 B1(0,1,2)， ∴
＝(1，－1,2)，
＝(0,1,2)，
·
＝3，|
|＝，|
|―＝， ∴cos〈
，
〉＝
＝. (3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，，2)，
＝(－1,1，－2)，
＝(，，0). ∴
·
＝－＋＋0＝0， ∴
⊥
. ∴A1B⊥C1M. 【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法 (1)常见类型 利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题. (2)常用的解题方法 ①基向量法 先选择一组基向量，把其他向量都用基向量表示，然后根据向量的运算解题； ②坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标，根据向量的坐标运算解题即可. 【探究创新】 【解题指南】向量
，
，
的模均为1，其夹角都是60°，故选取
，
，
当基底，利用向量的运算求|
|的最小值. 【解析】设
＝a，
＝b，
＝c， 由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∵点P在平面ABC上， ∴存在实数x，y，z， 使
＝xa＋yb＋zc，且x＋y＋z＝1， ∴
2＝(xa＋yb＋zc)2 ＝x2＋y2＋z2＋2xya·b＋2yzb·c＋2xza·c ＝x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx ＝(x＋y＋z)2－(xy＋yz＋zx) ＝1－(xy＋yz＋zx) ∵1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx ＝[(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)]＋2xy＋2yz＋2zx≥(2xy＋2yz＋2zx)＋2xy＋2yz＋2zx ＝3(xy＋yz＋zx)，∴xy＋yz＋zx≤， 当且仅当x＝y＝z＝时“＝”成立. ∴
2≥1－＝， ∴|
|≥＝， ∴|OP|的最小值为.

---

【点此下载】