课时提能演练(四十八)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·衡阳模拟)下列命题中是真命题的是( )
(A)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
(B)若｜a｜=｜b｜，则a，b的长度相等且方向相同或相反
(C)若向量满足且同向，则
(D)若两个非零向量AB与CD满足＝0，则
2.已知向量=(2，-3,5)与向量=(3,λ, )平行，则λ=( )
(A) (B)
(C) (D)
3.(2012·长沙模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①
②
③
④
其中能够化简为向量的是( )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·=0, ·=0，·=0，则△BCD的形状是( )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)无法确定
5.(2012·西安模拟)已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点(如图)，则是O为△BCD重心的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
6.(2012·青岛模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在上且,N为B1B的中点，则||为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.在空间四边形ABCD中，_____________.
8.已知O是空间中任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则2x+3y+4z=_________．
9.(易错题)空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=
45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于_______.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知a=(1，-3,2)，b=(-2,1,1)，点A(-3，-1,4)，B(-2，-2,2)．
(1)求|2a+b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得？(O为原点)
11.(2012·襄阳模拟)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，
∠BCA=90°，棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的模；
(2)求cos<>的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
【探究创新】
(16分)在棱长为1的正四面体OABC中，若P是底面ABC上的一点，求|OP|的最小值.
答案解析
1.【解析】选D.A错.因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B错.因为｜a｜=|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种说法.D对.∵=0,∴∴与共线，故∥正确.
2.【解析】选C．由得，，解得．
3.【解析】选A.①
②
③
④
所以选A.
4.【解题指南】通过的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状．
【解析】选C．
,
同理．故△BCD为锐角三角形．
5.【解析】选C．若O是△BCD的重心，则
,
若，
则，
即.
设BC的中点为P，则,
∴，即O为△BCD的重心．
6.【解析】选A.如图，设,
,则a·b= b·c= c·a=0.
由条件知
∴，
∴||= .
7.【解析】设，
则.
原式=．
答案:0
8.【解析】∵A,B,C,D四点共面，
∴，且m+n+p=1．
由条件知,
∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.
∴2x+3y+4z=-1.
答案:-1
9.【解析】由题意知
=8×4×cos45°-8×6×cos60°=16-24.
∴.
∴OA与BC所成角的余弦值为.
答案：
【误区警示】本题常误认为<>即为OA与BC所成的角.
【变式备选】已知点A(1,2,1)，B(-1,3,4)，D(1,1,1)，若，则||的值是________．
【解析】设P(x，y，z)，则=(x-1，y-2，z-1),
=(-1-x,3-y,4-z)，
由知，z=3，
故P().
由两点间距离公式可得.
答案:
10.【解析】(1)=(2，-6,4)+(-2,1,1)=(0，-5,5)，
故.
(2)令(t∈R),所以
=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t)，
若，则，
所以-2(-3+t)+(-1-t)+( 4-2t)=0，
解得.
因此存在点E，使得，此时E点的坐标为().
【变式备选】已知b与a=(2,-1,2)共线，且满足a·b=18，，求b及k的值．
【解析】∵a,b共线，
∴存在实数λ，使．
∴，
解得λ=2．∴b=(4,-2,4)．
∵,
∴，
∴，
∴k=±2．
11.【解析】如图，建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，
∴.
(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,,
∴.
(3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，，2)，=(-1,1,-2), =(,,0).
∴,
∴.
∴A1B⊥C1M.
【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法
1.常见类型
利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题．
2.常用的解题方法
(1)基向量法
先选择一组基向量，把其他向量都用基向量表示，然后根据向量的运算解题；
(2)坐标法
根据条件建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标，根据向量的坐标运算解题即可．
【探究创新】
【解题指南】向量的模均为1，其夹角都是60°，故选取当基底，利用向量的运算求||的最小值.
【解析】设,
由题意，知,
，
∵点P在平面ABC上，
∴存在实数x,y,z，
使，且x+y+z=1，
∴
=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz
=x2+y2+z2+xy+yz+zx
=(x+y+z)2-(xy+yz+zx)
=1-(xy+yz+zx)
∵1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx
=［(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)］+2xy+2yz+2zx
≥(2xy+2yz+2zx)+2xy+2yz+2zx
=3(xy+yz+zx)，
∴xy+yz+zx≤，
当且仅当x=y=z=时“=”成立.
∴，∴，
∴|OP|的最小值为.
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