温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 课时提能演练(四十七) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是(　　) (A)－3或1　　　 (B)3或－1 (C)－3　　　 (D)1 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于(　　) (A)AC　　　(B)BD　　　(C)A1D　　　(D)A1A 3.(易错题)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为(　　)
(A) (B)－ (C) (D)－ 4.(2012·金华模拟)正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)
(A) (B) (C) (D) 5.(2012·晋城模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定 6.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C－AB－D的大小为θ，则sin θ的值等于(　　)
(A)　　　　　　 (B) (C)　　　　　 (D) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(易错题)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1, 1)，则两平面所成的二面角的大小为　　　　. 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为　　　　.
9.正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是　　　. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2012·温州模拟)已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点.
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD； (2)求AC与PB所成的角的余弦值； (3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值. 11.(2012·衢州模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.
(1)求证：BC⊥平面ACFE； (2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cosθ的取值范围. 【探究创新】 (16分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，△PAD为等边三角形，又平面PAD⊥平面ABCD. (1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围； (2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值.
答案解析 1.【解析】选A.由题意知|a|＝＝6， 得x＝±4. 由a·b＝4＋4y＋2x＝0得 x＝－2y－2， 当x＝4时，y＝－3， ∴x＋y＝1； 当x＝－4时，y＝1， ∴x＋y＝－3， 综上x＋y＝－3或1. 2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果. 【解析】选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1， 则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，，1)， ∴
＝(－，－，1)，
＝(1,1,0)，
＝(－1,1,0)，
＝(0,1，－1)，
＝(0,0，－1)， 显然
＝－＋0＝0， ∴
⊥
，即CE⊥BD. 3.【解析】选A.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点. 以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz， A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，
＝(0，－2,2)，
＝(－1,2,1)， ∴|
|＝2，|
|＝，
·
＝－2， ∴cos〈
，
〉＝
＝－. ∴直线AD与GF所成角的余弦值为. 【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B. 【变式备选】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(　　) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AM⊥OP总成立，即AM与OP所成的角为. 4.【解析】选A.如图，取A1B1的中点E1，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.
则E(0,0,0)，F(－1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(－1,0,2)， C1(0，，2)，G(－，，2). ∴
＝(－2,0，－1)， 设平面GEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由
，得， 令x＝1，则n＝(1，－，1)， 设B1F与平面GEF所成角为θ，则 sinθ＝|cos〈n，
〉|＝
＝. 5.【解题指南】建立坐标系，判断
与平面BB1C1C的法向量的关系. 【解析】选B.分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
∵A1M＝AN＝a， ∴M(a，a，)，N(a，a，a). ∴
＝(－，0，a). 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)， ∴
＝(0，a,0). ∴
·
＝0.∴
⊥
. ∵
是平面BB1C1C的一个法向量， 且MN
平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 6.【解析】选A.由题意可求得BO＝，OC＝，AO＝， 建立空间直角坐标系如图，则 C(，0,0)，B(－，0,0)， A(0,0，)，D(，3,0)，
＝(4,3,0)，
＝(，0，) 设m＝(x，y，z)是平面ABD的一个法向量. 则，取z＝－3，x＝7，y＝－. 则m＝(7，－，－3). 又
＝(0,3,0)是平面ABC的一个法向量. ∴cos〈m，
〉＝
＝＝－. sinθ＝＝. 【方法技巧】求二面角的策略 (1)法向量法，其步骤是：①建系，②分别求构成二面角的两个半平面的法向量，③求法向量夹角的余弦值，④根据题意确定二面角的余弦值或其大小. (2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值. 7.【解析】cos〈m，n〉＝
＝，∴〈m，n〉＝， ∴两平面所成二面角的大小为或. 答案：或 【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有，而忽视. 8.【解析】以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(，，1)，设平面ABC1D1的法向量n＝(x，y，z)， 由
， 得， 令x＝1，得n＝(1,0,1)， 又
＝(－，－，0)， ∴O到平面ABC1D1的距离d＝
＝＝. 答案： 9.【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(－a,0,0)，P(0，－，)， 则
＝(2a,0,0)，
＝(－a，－，)，
＝(a，a,0)， 设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)， 则cos〈
，n〉＝
＝＝， ∴〈
，n〉＝60°， ∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30° 10.【解析】以A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，). (1)因为
＝(0,0,1)，
＝(0,1,0)， 故
·
＝0，所以AP⊥DC.
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥平面PAD，又DC在平面PCD内，故平面PAD⊥平面PCD. (2)因为
＝(1,1,0)，
＝(0,2，－1)， 故|
|＝，|
|＝，
·
＝2， 所以cos〈
，
〉＝
＝. (3)在MC上取一点N(x，y，z)， 则存在λ∈R，使
＝λ
，
＝(1－x,1－y，－z)，
＝(1,0，－)， ∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ. 要使AN⊥MC，只需
·
＝0，即x－z＝0，解得λ＝，可知当λ＝时，N点坐标为(，1，)，能使
·
＝0， 此时，
＝(，1，)，
＝(，－1，)， 有
·
＝0， 由
·
＝0，
·
＝0得AN⊥MC，BN⊥MC，所以∠ANB为所求二面角的平面角. ∵|
|＝，|
|＝，
·
＝－， ∴cos〈
，
〉＝
＝－. 【变式备选】(2012·吉林模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点.
(1)若PD＝1，求异面直线PB与DE所成角的余弦值. (2)若二面角P－BF－C的余弦值为，求四棱锥P－ABCD的体积. 【解析】(1)E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形
DF∥BE且DF＝BE
DFBE为平行四边形
DE∥BF
∠PBF等于PB与DE所成的角. △PBF中，BF＝，PF＝，PB＝3
cos∠PBF＝异面直线PB和DE所成角的余弦值为. (2)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝a，可得如下点的坐标：P(0，0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，则有：
＝(1,0，－a)，
＝(1,2,0)， 因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)， 设平面PFB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则可得
即， 令x＝1，得z＝，y＝－，所以n＝(1，－，).已知二面角P－BF－C的余弦值为，所以得： cos〈m，n〉＝＝＝，解得a＝2. 因为PD是四棱锥P－ABCD的高，所以，其体积为VP－ABCD＝×2×4＝. 11.【解析】(1)在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1， ∠ABC＝60°，∴AB＝2， ∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3， ∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC， ∵平面ACFE⊥平面ABCD， 平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC
平面ABCD， ∴BC⊥平面ACFE. (2)由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1).
∴
＝(－，1,0)，
＝(λ，－1,1). 设n1＝(x，y，z)为平面MAB的一个法向量. 由
得， 取x＝1，则n1＝(1，，－λ)， ∵n2＝(1,0,0)是平面FCB的一个法向量， ∴cosθ＝
＝ ＝， ∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值， 当λ＝时，cosθ有最大值. ∴cosθ∈[，]. 【探究创新】 【解析】(1)取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系， 则P(0,0，a)，D(，0,0). 设Q(t,2,0)， 则
＝(t,2，－a)，
＝(t－，2,0). ∵PQ⊥QD， ∴
·
＝t(t－)＋4＝0. ∴a＝2(t＋)，∵a>0，∴t>0，∴2(t＋)≥8， 等号成立当且仅当t＝2. 故a的取值范围为[8，＋∞). (2)由(1)知，当t＝2，a＝8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD. 此时Q(2,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4). 设n＝(x，y，z)是平面PQD的法向量，
＝(2,2，－4)，
＝(－2,2,0). 由
得 令x＝y＝3，则n＝(3,3，)是平面PQD的一个法向量. 而
＝(0,2,0)是平面PAD的一个法向量， 设二面角A－PD－Q为θ， 由cosθ＝|cos〈
，n〉|＝. ∴二面角A－PD－Q的余弦值为.

---

【点此下载】