课时提能演练(四十九) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知直线l1的方向向量是a=(2,4,x)，直线l2的方向向量是b=(2，y,2)，若|a|=6，且a·b=0，则x+y的值是( ) (A)-3或1 (B)3或-1 (C)-3 (D)1 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于( ) (A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1A 3.(2012·湘潭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD所成角的大小为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)75° 4.(2012·金华模拟)正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( ) (A)
(B)
(C)
(D)
5.(2012·晋城模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=
, 则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定 6.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将 △ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边 上，若二面角C－AB－D的大小为θ，则sinθ的值 等于( ) (A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(易错题)已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_______. 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为___________.
9.正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是_______． 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2012·株洲模拟)已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点. (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值. 11.(预测题)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， 且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点. (1)证明：PF⊥FD； (2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD； (3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的平面角的余弦值. 【探究创新】 (16分)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，△PAD为等边三角形，又平面PAD⊥平面ABCD． (1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围； (2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．
答案解析 1.【解析】选A.由题意知
, 得x=±4. 由a·b=4+4y+2x=0得x=-2y-2, 当x=4时，y=-3,∴x+y=1； 当x=-4时，y=1,∴x+y=-3, 综上x+y=-3或1. 2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果. 【解析】选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1， 则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)， D(0，1，0)， A1(0，0，1)，E(
，
，1)， ∴
=(
，
，1)，
=(1，1，0)，
=(-1，1，0)，
=(0，1，-1)，
=(0，0，-1)， 显然
，∴
，即CE⊥BD. 3.【解析】选C.∵cos〈
〉=
=
∴异面直线AB与CD所成角为60°. 4.【解析】选A.如图，取A1B1的中点E1，建立如图所示空间直角坐标系Exyz. 则E(0,0,0),F(-1,0,1),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),
C1(0,
,2),G(
). ∴
=(-2,0,-1), 设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z), 由
，得
， 令x=1,则n=(1,
,1), 设B1F与平面GEF所成角为θ，则
. 5.【解题指南】建立坐标系，判断
与平面BB1C1C的法向量的关系. 【解析】选B.分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. ∵A1M=AN=
, ∴M(
),N(
).∴
. 又C1(0，0，0)，D1(0,a,0),∴
=(0,a,0). ∴
.∴
. ∵
是平面BB1C1C的一个法向量， 且MN
平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 6.【解析】选A.由题意可求得BO=
，OC=
，AO=
， 建立空间直角坐标系如图，则
C(
,0,0)，B(
,0,0)，A(0,0,
)，D(
,3,0)，
=(4,3,0)，
=(
) 设m=(x，y，z)是平面ABD的一个法向量． 则
，取z=
，x=7,y=
. 则
. 又
=(0,3,0)是平面ABC的一个法向量． ∴
. sinθ
. 【方法技巧】求二面角的策略 (1)法向量法，其步骤是：①建系，②分别求构成二面角的两个半平面的法向量，③求法向量夹角的余弦值，④根据题意确定二面角的余弦值或其大小. (2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值. 7.【解析】
，∴
, ∴两平面所成二面角的大小为
或
. 答案：
或
【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有
,而忽视
. 8.【解析】以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(
,
,1)，设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z)， 由
， 得
， 令x=1，得n=(1,0,1)， 又
， ∴O到平面ABC1D1的距离
. 答案:
9.【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，P(0,
,
)，
则
=(2a,0,0)，
=(-a,
,
)，
=(a，a,0)， 设平面PAC的一个法向量为n，可取n=(0,1,1)， 则
， ∴
=60°， ∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°=30°. 答案：30° 10.【解析】依题意，建立如图所示的坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,
a,0), E(a,
a,2a). ∵F为CD的中点， ∴F(
a,
a,0). (1)
=(
a,
a,0)，
=(a,
a,a),
=(2a,0,-a), ∵
AF
平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)∵

∴
∴
∴
⊥平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)设平面BCE的法向量为n＝(x,y,z), 由
可得： ax+
ay+az=0,2ax-az=0,取n=(1,-
,2). 又
设BF和平面BCE所成的角为θ,由题图可知，θ为锐角，则
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为
11.【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°， AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0). 不妨令P(0，0，t)，∵
=(1，1，-t)，
=(1，-1，0) ∴
·
=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0, 即PF⊥FD. (2)存在.设平面PFD的一个法向量为n=(x,y,z),结合(1), 由
，得
, 令z=1,解得：x=y=
. ∴
. 设G点坐标为(0,0,m),E(
,0,0),则
=(
，0，m)， 要使EG∥平面PFD，只需
·n=0，即
, 得
，从而满足
的点G即为所求. (3)∵AB⊥平面PAD，∴
是平面PAD的法向量，易得
=(1，0，0)， 又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角， 得∠PBA=45°,PA=1，结合(2)得平面PFD的法向量为n=(
)， ∴
由题意知二面角A-PD-F为锐二面角. 故所求二面角A-PD-F的平面角的余弦值为
. 【探究创新】 【解析】(1)取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD ∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系， 则P(0,0,
),D(
,0,0)． 设Q(t，2，0)， 则
． ∵PQ⊥QD，∴
． ∴a=2(t+
)，∵a>0,∴t>0,∴2(t+
)≥8,等号成立当且仅当t=2． 故a的取值范围为［8,+∞)． (2)由(1)知，当t=2,a=8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD． 此时Q(2，2，0)，D(4，0，0),P(0,0,4
)． 设n=(x,y,z)是平面PQD的法向量，
=(2,2,
)，
=(-2,2,0). 由
得
令x=y=3，则n=(3,3,
)是平面PQD的一个法向量． 而
=(0,2,0)是平面PAD的一个法向量， 设二面角A－PD－Q为θ， 由
． ∴二面角A－PD－Q的余弦值为
．

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