【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】7立体几何
1.（2013届北京朝阳区一模理科）（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A. B. C. D. 8
【答案】D
由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为。
2．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是 （ ）
A．若，，则∥
B．若∥，，则
C．若∥，，则∥
D．若，，则．
【答案】C
C中，当∥时，只和过平面与的交线平行，所以不正确。
3.（2013届北京海淀一模理科）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：
①，使得是直角三角形；
②，使得是等边三角形；
③三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
其中，所有正确结论的序号是 （ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
我们不妨先将?A、B、C?按如图所示放置．容易看出此时?BC＜AB=AC．现在，我们将?A?和?B?往上移，并且总保持?AB=AC（这是可以做到的，只要?A、B?的速度满足一定关系），而当A、B?移得很高很高时，不难想象△ABC?将会变得很扁，也就是会变成顶角?A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC?成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC?成为直角三角形（而且还是等腰的）．这样，就得到①和②都是正确的．至于③，如图所示为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为?．假设?A?是?，那么由?AD⊥AB，AD⊥AC?知?L3⊥△ABC，从而△ABC?三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与?AB⊥AC?矛盾．同理可知?D?是?时也矛盾；假设?C?是?，那么由?BC⊥CA，BC⊥CD?知?BC⊥△CAD，而?l1∥△CAD，故?BC⊥l1，从而?BC?为?l1与?l2?的距离，于是?EF∥BC，EF=BC，这样就得到?EF⊥FG，矛盾．同理可知?B?是?时也矛盾．综上，不存在四点Ai（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
4．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为,由直观图可知，最大的面为.在等边三角形中，,所以面积，选D.
5．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为，侧面积为，所以正三棱柱的表面积是，选C.
6．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是 （ ）
A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】A
连接，由题意知因为，且，所以,所以，即为定点。因为所以点P位于线段的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点的轨迹是线段。选A.
7．（2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由三视图可知该几何体是个底面是正三角形，棱垂直底的三棱锥。其中,取的中点，则，所以的面积为，选C.
8．（2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
A．B．C．D．
【答案】C
由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.
9．（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.
【答案】
由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．因为PO⊥底面ABC，所以平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AC．
PC=．．．
所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．
10.（2013届北京石景山区一模理科）12．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是
【答案】
由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5．
所以则最长的一条侧棱PB，其长度是．
11．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；
（Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．
证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。
连结交于O，则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。
因为平面，平面，所以平面。
（II）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：
，，，.
则，，设平面的法向量为。
由，得到，令，则，，所以.
又，得。
所以
设与平面所成角为，则。
所以与平面所成角的正弦值为。
12．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;
（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值.
.
【解析】（Ⅰ）∵ABCD是正方形,
∴BC∥AD.
∵BC(平面AMD,AD平面AMD,
∴BC∥平面AMD.
∵NB∥MD,
∵NB(平面AMD,MD平面AMD,
∴NB∥平面AMD.
∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,
∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分
∵AM平面AMD,
∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分
(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)
（Ⅱ）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分
则，，,.
, ………………………………………6分
，,
设平面MNC的法向量,
则，令，则 … 7分
设AN与平面MNC所成角为,
. ……9分
（Ⅲ）设，，，
又，
E点的坐标为， …………………………11分
面MDC,，
欲使平面ADE⊥平面MNC，只要，
，，
. …………………………………………14分
13．（2013届北京海淀一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面;
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
证明：(I) 因为是正三角形，是中点，
所以,即………………1分
又因为，平面，………………2分
又，所以平面………………3分
又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，………………5分
在中，因为为中点，，所以
，所以，所以………………6分
在等腰直角三角形中，，，
所以，，所以………………8分
又平面，平面，所以平面………………9分
（Ⅲ）因为，
所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，
所以
由（Ⅱ）可知，
为平面的法向量………………10分
，
设平面的一个法向量为,
则，即，
令则平面的一个法向量为………………12分
设二面角的大小为， 则
所以二面角余弦值为………………14分
14．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.
(Ⅰ)设的中点为，求证：平面；
（Ⅱ）求斜线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱上存在一点，使得二面角
的大小为，求的值.
(Ⅰ)证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，
因为侧面底面，侧面底面，侧面，
所以平面. ………3分（Ⅱ）连结，设，建立空间直角坐标系，
则，，，，，………5分
,平面的法向量，
设斜线与平面所成角的为，
则. ………8分
（Ⅲ）设，则，
，， ………10分
设平面的法向量为，则，
，
取，得，又平面的法向量………12分
所以，所以，
解得（舍去）或.所以，此时. ………14分
15．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，
，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．
（Ⅰ）证明：因为，，
在△中，由余弦定理可得 ，
所以 ． ………………2分
又因为 ，
所以平面． ………………4分
（Ⅱ）解：因为平面，所以．
因为，所以平面． ………………5分
所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系． ………………6分在等腰梯形中，可得 ．
设，所以．
所以 ，，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………8分
设与平面所成的角为，则 ，
所以 与平面所成角的正弦值为． ………………9分
（Ⅲ）解：线段上不存在点，使平面平面．证明如下： ………………10分
假设线段上存在点，设 ，所以．
设平面的法向量为，则有
所以 取 ，得． ………………12分
要使平面平面，只需， ………………13分
即 ， 此方程无解．
所以线段上不存在点，使平面平面． ………………14分
16．（2013届东城区一模理科）如图，已知是直角梯形，且，平面平面，，，， 是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值．
证明（Ⅰ）取的中点，连结，．
因为是的中点，
所以，．
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形．
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）因为，平面平面，
所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内．
由已知可得，，，．
所以，，
设平面的法向量为．
由
所以
取，
所以 ．
又因为平面的一个法向量为
．
所以．
即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．
17．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥中，侧面⊥底面， 为直角梯形，//，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；
（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．
（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO
// ,, 为中点
AE//BC，且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点 ………………………………….………………..1分
又 F为AD中点
// ……………………………………………...….2分
……………...….3分
//平面 ………………………………………..……..…..4分
（Ⅱ）解法一：
………………………….…………………6分
易知 BCDE为正方形
建立如图空间直角坐标系，（）
则
，…….………8分
解得： …………… ………….9分
解法二：由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形 可得 //
为 即…………………………………..…5分
……………………… ………………….…7分
………………… …………………………….8分
…………………………………..………9分
（Ⅲ）为的中点，所以 ，
,
设是平面BEF的法向量
则
取，则，得 ……………………………………………….11分
是平面ABE的法向量 ………………………………………………….12分
………………………………………………….13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为．………………………………………….14分
18．（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD中，，，，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为，N是BC的中点
所以，又
所以四边形是平行四边形，所以
又因为等腰梯形，，
所以 ，所以四边形是菱形，所以
所以，即
由已知可知 平面平面，
因为 平面平面
所以平面 ……………………………4分
（Ⅱ）证明：因为，，
所以平面平面
又因为平面，
所以 平面 …………………………8分
（Ⅲ）因为平面
同理平面，建立如图如示坐标系
设，
则,, ，， ……………………………9分
则，
设平面的法向量为，有 ，，
得 ……………………………11分
因为平面，所以平面平面
又，平面平面
所以平面
与交于点O，O则为AN的中点，O
所以平面的法向量 ……… ……………12分
所以 …………………13分
由图形可知二面角为钝角
所以二面角的余弦值为．…………………14分
19.（2013届北京朝阳区一模理科）（17）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，
试求出的值；若不存在，请说明理由．
证明：（Ⅰ）由已知，，
所以 ．
因为，所以．
而平面，平面，
所以平面． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因为平面平面，
平面平面，且，
所以平面.
所以，．
又因为，
所以两两垂直． ……………………………………………………5分
如图所示，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以
．
当时，为中点，
所以,
所以．
设异面直线与所成的角为，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．…………………………………9分
（Ⅲ）设，则．
由已知，所以，
所以 所以．
设平面的一个法向量为，因为,
所以 即
令，得．
设平面的一个法向量为，因为,
所以 即
令，则．
若平面平面，则，所以，解得．
所以当时，平面平面．…………………………………………14分
20.（2013届北京石景山区一模理科）17 ．（本小题满分14分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,，平面，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角；
（Ⅲ）设点在棱上，，若 ∥平面，求的值.
证明：（I）在直角梯形ABCD中，
所以，所以. …………2分
又因为，所以
由，所以
所以 …………4分
（II）如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F， 分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
由条件知A（1，0，0），B（1，，0），
设，则， …………5分
由（I）知.
.
设，
则 …………7分
即直线为. …………8分
（III）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则
，，，，
而，所以，
=
…………10分
设为平面PAB的法向量，则，即，即.
进而， …………12分
由,得
∴ …………14分
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