【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】7：立体几何
．（2013届房山区一模文科数学）某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是 （ ）
A． B． C． D．
C
由三视图可知该几何体是个底面是正三角形，棱垂直底的三棱锥。其中,取的中点，则，所以的面积为，选C.
．（2013届北京市延庆县一模数学文）一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是
（ ）
A． B． C． D．
D
将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为,由直观图可知，最大的面为.在等边三角形中，,所以面积，选D.
．（2013届北京市石景山区一模数学文）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（ ）
A． B． C．5 D．
D
由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5．
所以则最长的一条侧棱PB，其长度是．选D.
．（2013届北京东城区一模数学文科）已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 那么这个几何体的侧面积是 （ ）
A． B．
C． D．
C
由三视图可知，该几何体是一个平放的四棱柱，四棱柱的底面是直角梯形。所以几何体的侧面积为，选C.
．（2013届北京市朝阳区一模数学文）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A. B. C. D. 8
D
由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为。
．（2013届北京丰台区一模文科）某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是 （ ）
A．2 B．4 C． D．
C
由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．因为PO⊥底面ABC，所以平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AC．
PC=．．．
所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．选C
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）如图所示,为一几何体的三视图,则该几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
D
由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.
．（2013届北京大兴区一模文科）已知平面,直线,下列命题中不正确的是 （ ）
A．若,,则∥
B．若∥,,则
C．若∥,,则∥
D．若,,则.
C
C中，当∥时，只和过平面与的交线平行，所以不正确。
．（2013届北京西城区一模文科）某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表面积是 （ ）
A． B． C． D．
C
由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为，侧面积为，所以正三棱柱的表面积是，选C.
．（2013届北京西城区一模文科）如图,正方体中,是棱的中点,动点在底面内,且,则点运动形成的图形是 （ ）
A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
B
因为，所以点P的轨迹为为球心，以为半径的球，又在底面内，运动形成的图形是球与底面的交线，所以为圆弧，选B.
．（2013届北京海淀一模文）某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______.
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由三视图可知该几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：
．
．（2013届北京市延庆县一模数学文）如图,四棱锥的底面为菱形,,底面,,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在侧棱上是否存在一点,满足平面,若存在,求的长;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)证明:设、相交于点,连结,
底面为菱形,为的中点,
又为的中点,
又平面,平面,
平面
(Ⅱ)解:因为底面为菱形,,所以是边长为正三角形,
又因为底面,所以为三棱锥的高,
(Ⅲ)解:因为底面,所以,
又底面为菱形,,
,平面,平面,
平面,
在内,易求,,
在平面内,作,垂足为,
设,则有,解得
连结,,,,平面,
平面,平面.
所以满足条件的点存在,此时的长为
．（2013届北京东城区一模数学文科）如图,已知平面,平面,为的中点,若
.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面平面.
(共14分)
证明:(Ⅰ)取的中点,连结,.
因为是的中点,
则为△的中位线.
所以,.
因为平面,平面,
所以.
又因为,
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)因为,为的中点,
所以.
因为,平面,
所以平面.
又平面,
所以.
因为,
所以平面.
因为,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
．（2013届北京丰台区一模文科）如图,四棱锥P-ABCD中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:AC⊥PD;
(Ⅱ)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
如图,四棱锥P-ABCD中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:AC⊥PD;
(Ⅱ)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD, AC⊥CD , AC?平面ABCD ,
∴AC⊥平面PCD,
∵PD?平面PCD ,
∴AC⊥PD
(Ⅱ)线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD,
∵AD=3,
∴在△PAD中,存在EF//AD(E,F分别在AP,PD上),且使EF=1,
又∵ BC∥AD,∴BC∥EF,且BC=EF,
∴四边形BCFE是平行四边形,
∴BE//CF, ,
∴BE∥平面PCD,
∵EF =1,AD=3,
∴
．（2013届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分14分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,， 平面，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设AC与BD相交于点O，在棱上是否存在点，使得∥平面?若存在，确定点位置．
证明：（I）在直角梯形ABCD中，
所以，所以. …………4分
又因为，所以
由，所以
所以 …………7分
（II）存在点，使得∥平面，此时 …………9分
证明：在PC上取点使得，连接OE.
由，
所以,可得 …………13分
又因为
所以∥平面 …………14分
．（2013届北京海淀一模文）在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)设平面平面=,试问直线是否与直线平行,请说明理由.
解:(I)证明:(I) 因为是正三角形,是中点,
所以,即
又因为,平面,
又,所以平面
又平面,所以
(Ⅱ)在正三角形中,
在,因为为中点,,所以
,所以,,所以
所以,所以
又平面,平面,所 以平面
(Ⅲ)假设直线,因为平面,平面,
所以平面
又平面,平面平面,所以
这与与不平行,矛盾
所以直线与直线不平行
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）如图,已知平面,,且是垂足.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若,试判断平面与平面是否垂直,并证明你的结论.
(Ⅰ)证明:因为,所以.
同理.
又,故平面
(Ⅱ)平面与平面垂直
证明:设与平面的交点为,连结、.
因为,所以,
在中,,
所以,即
在平面四边形中,,所以
又,所以,
所以平面平面
．（2013届北京大兴区一模文科）如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,是等边三角形,D是BC的中点.
(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1;
(Ⅱ)判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论.
解: (Ⅰ)在直三棱柱中,,所以,
在等边中,D是BC中点,所以
因为 在平面中,,所以
又因为,所以,
在直三棱柱中,四边形是平行四边形,所以
所以,
(Ⅱ) 在直三棱柱中,四边形是平行四边形,
在平行四边形中联结,交于点O,联结DO.
故O为中点.
在三角形中,D 为BC中点,O为中点,故.
因为,所以,
故,平行
．（2013届北京西城区一模文科）在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求四面体的体积;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使//平面?证明你的结论.
(Ⅰ)证明:在△中,
因为 ,,,
所以
又因为 ,
所以 平面
(Ⅱ)解:因为平面,所以.
因为,所以平面
在等腰梯形中可得 ,所以.
所以△的面积为
所以四面体的体积为:
(Ⅲ)解:线段上存在点,且为中点时,有// 平面,证明如下:
连结,与交于点,连接.
因为 为正方形,所以为中点
所以 //
因为 平面,平面,
所以 //平面.
所以线段上存在点,使得//平面成立
．（2013届房山区一模文科数学）在四棱锥中,底面为直角梯形,//,,,,
为的中点.
(Ⅰ)求证:PA//平面BEF; (Ⅱ)求证:.
(Ⅰ)证明:连接AC交BE于O,并连接EC,FO
// ,, 为中点
AE//BC,且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点 又 F为AD中点 //
//
(Ⅱ)连接
......12 分
.14 分
．（2013届北京市朝阳区一模数学文）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，
写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．
（17）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，
所以 ．
因为，所以．
而平面，平面，
所以平面． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因为平面平面，
平面平面，且，平面.
所以平面，又平面，所以．
又因为，，所以平面，
而平面，
所以平面平面．……………………………………………………8分
（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.
在棱上显然存在点,使得.
由已知，，，，．
由平面几何知识可得 ．
由（Ⅱ）知，平面，所以，
因为，所以平面．
而平面，所以．
又因为,所以平面.
在中，，
可求得，．
可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为．……………14分
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