课时提能演练(四十七)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·西安模拟)原点O在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的方程是( )
(A)x＋2y＝0 (B)x＋2y－4＝0
(C) 2x－y＋5＝0 (D)2x＋y＋3＝0
2.(2012·石家庄模拟)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为( )
(A)1 (B)2 (C)6 (D)1或2
3.平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )
(A)y＝2x－1 (B)y＝－2x＋1
(C)y＝－2x＋3 (D)y＝2x－3
4.设两直线l1：x＋y＋b＝0，l2：xsinθ＋y－a＝0，θ∈(π，π)，则直线l1和l2的位置关系是( )
(A)平行 (B)平行或重合
(C)垂直 (D)相交但不一定垂直
5.设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为( )
(A)y＝2x＋5 (B)y＝2x＋3
(C)y＝3x＋5 (D)y＝－x＋
6.(易错题)若点A(3,5)关于直线l：y＝kx的对称点在x轴上，则k是( )
(A) (B)±
(C) (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·咸阳模拟)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是 .
8.(2012·皖南八校联考)平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为 .(将你认为所有正确的序号都填上)
①0 ② ③1 ④2 ⑤3
9.已知＋＝1(a＞0，b＞0)，则点(0，b)到直线3x－4y－a＝0的距离的最小值是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2011·安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上.
11.两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行线间的距离为d.
(1)求d的变化范围；
(2)求当d取得最大值时的两条直线方程.
【探究创新】
(16分)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f(x)＝k(x－2)＋3的图像为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，探究正实数m取何值时，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；仅有两条；仅有三条；仅有四条.
答案解析
1.【解析】选C.由题可知，直线OP⊥l，
∴kOP·kl＝－1，∵kOP＝－，
∴kl＝2.
∴直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
2.【解析】选D.∵＝－，＝3－a，∴－(3－a)＝－1，解得a＝1或2.
3.【解析】选D.在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，－1).由两点式求出对称直线MN的方程＝，即y＝2x－3，故选D.
【方法技巧】对称问题的求解思路
常见的各种对称问题，最终化归为点的对称问题.其中点关于直线的对称是最基本的对称，解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段中点在对称轴上.
4.【解析】选C.∵θ∈(π，π)，∴sinθ＜0，
又∵sinθ·1＋·＝sinθ＋|sinθ|＝sinθ－sinθ＝0，故两直线垂直.
5.【解析】选A.点A(3，－1)关于直线x＝0，y＝x的对称点分别为A′(－3，
－1)，A″(－1,3)，且都在直线BC上，故得直线BC的方程为：y＝2x＋5.
6.【解析】选D.由题设点A(3,5)关于直线l：y＝kx的对称点为B(x0,0)，依题意得，
解得k＝.
7. 【解析】∵＝≠，∴m＝8，
直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，
∴两平行线之间的距离d＝＝2.
答案：2
【变式备选】“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解析】选C.当a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行；当直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行时，－＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件.
8.【解题指南】根据三条直线将平面划分为六部分，弄清三直线的位置关系是解题的关键.
【解析】∵三直线将平面划分为六部分，
∴三直线交于一点或其中两条平行线和第三条相交，
验证知k＝0,1,2满足题意.故①③④正确.
答案：①③④
9.【解题指南】先利用点到直线的距离公式将距离表示为关于a，b的关系式，将已知条件代入，利用不等式求最值.
【解析】点(0，b)到直线3x－4y－a＝0的距离为
d＝＝＝·(＋)
＝(5＋＋)≥×(5＋4)＝.
当且仅当＝，即a＝3，b＝时取等号.
答案：
10.【解题指南】(1)注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设l1与l2不相交，之后推出矛盾.(2)可以求出交点，代入方程；也可消去参数k1、k2，得出椭圆方程.
【证明】(1)(反证法)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k12＋2＝0.
此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1≠k2，即l1与l2相交.
(2)方法一：由方程组得
得交点P的坐标(x，y)为(，)
而2x2＋y2＝
＝
此即表明交点在椭圆2x2＋y2＝1上.
方法二：交点P的坐标(x，y)满足，
显然x≠0，从而，代入k1k2＋2＝0，
得·＋2＝0，整理得：2x2＋y2＝1，
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上.
11.【解析】(1)当两直线的斜率都不存在时，两直线方程分别为x＝6，x＝－3，此时d＝9；当两直线斜率存在时，设两条直线方程分别为y＝kx＋b1，和y＝kx＋b2，则即，
而d＝，
∴d2＋d2k2＝81k2－54k＋9，
即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，
由于k∈R，∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，
整理得4d2(90－d2)≥0，∴0＜d≤3.
综上0＜d≤3.
(2)因为d＝3时，k＝－3，
故两直线的方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【探究创新】
【解析】显然直线f(x)＝k(x－2)＋3与x轴、y轴的交点坐标分别为A(2－，0)，B(0,3－2k)；
当k＜0时，△AOB的面积为(2－)(3－2k)，依题意得，(2－)(3－2k)＝m，
即4k2－(12－2m)k＋9＝0.
又因为Δ＝[－(12－2m)]2－4×4×9，且m＞0，所以，m＝12时，k值唯一，此时直线l唯一；m＞12时，k值为两个负值，此时直线l有两条；
当k＞0时，△AOB的面积为－(2－)(3－2k)，
依题意得，－(2－)(3－2k)＝m，即
4k2－(12＋2m)k＋9＝0，
又因为Δ＝[－(12＋2m)]2－4×4×9＝4m2＋48m，
且m＞0，所以Δ＞0，对于任意的m＞0，方程总有两个不同的解且都大于零，此时有两条直线；
综上可知：不存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；当0＜m＜12时，直线l有两条；当m＝12时，直线l有三条；当m＞12时，直线l有四条.
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