课时提能演练(五十一) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·株洲模拟)点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2012·湘潭模拟)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( ) (A)(0，4) (B)(0，2) (C)(-2，4) (D)(4，-2) 3.设两直线l1：x+y+b=0，l2：xsinθ+y-a=0，θ∈(π,)，则直线l1和l2的位置关系是( ) (A)平行 (B)平行或重合 (C)垂直 (D)相交但不一定垂直 4.设△ABC的一个顶点是A(3, -1)，∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x，则直线BC的方程为( ) (A)y=2x+5 (B)y=2x+3 (C)y=3x+5 (D) 5.(2012·衡阳模拟)点P(-1，3)到直线l:y=k(x-2)(k>0)的距离的最大值等于 ( ) (A)2 (B)3 (C)3 (D)2 6.(2012·金华模拟)若点A(3,5)关于直线l：y=kx的对称点在x轴上，则k是( ) (A) (B)± (C) (D) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(预测题)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为则的值为______. 8.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2，0)射出的光线被直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经OB反射后回到P点，则光线所经过的路程是__________. 9.设直线l1经过点A(3，0),直线l2经过点B(0,4)，且l1∥l2，则l1与l2间的距离d的取值范围为__________. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(易错题)已知点(x0,y0)在直线ax+by=0(a,b为常数)上，求的最小值. 11.两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(-3,-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行线间的距离为d. (1)求d的变化范围； (2)求当d取得最大值时的两条直线方程. 【探究创新】 (16分)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f (x)=k(x-2)+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，探究正实数m取何值时，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；仅有两条；仅有三条；仅有四条. 答案解析 1.【解析】选C.由点到直线的距离公式得距离为. 【变式备选】点P(m-n,-m)到直线的距离等于( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.因为直线可化为 nx+my-mn=0,则由点到直线的距离公式得 . 2.【解析】选B.由于直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，∴直线l2恒过定点(0，2). 3.【解析】选C.∵θ∈(π,)，∴sinθ＜0, 又∵,故两直线垂直. 4.【解题指南】利用角平分线的性质，分别求出点A关于∠B，∠C的平分线的对称点坐标，由两点式得BC方程. 【解析】选A.点A(3,-1)关于直线x=0,y=x的对称点分别为A′(-3,-1),A″(-1,3),且都在直线BC上,故得直线BC的方程为:y=2x+5. 5.【解析】选C.直线l:y=k(x-2)的方程化为kx-y-2k=0, 所以点P(-1，3)到该直线的距离为  由于 即距离的最大值等于 6.【解析】选D.由题设点A(3,5)关于直线l：y=kx的对称点为B(x0,0)， 依题意得, 解得. 7.【解析】由题意得 ∴a=-4,c≠-2, 则6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0, 由两平行线间的距离，得 解得c=2或-6，所以=±1. 答案：±1 8.【解题指南】转化为点P关于AB、y轴两对称点间的距离问题求解. 【解析】如图所示，P关于直线AB：x+y=4的对称点P1(4,2),P关于y轴的对称点P2(-2，0).  则光线所经过的路程即为 . 答案： 9.【解析】∵A(3，0)，B(0，4)，∴|AB|=5. 此时为两平行线之间距离的最大值，当l1，l2都过A，B时，两条直线重合，因此0＜d≤5. 答案：0＜d≤5 10.【解析】可看作点(x0,y0)与点(a,b)的距离，而点(x0,y0)在直线ax+by=0上，所以的最小值为点(a,b)到直线ax+by=0的距离. 【方法技巧】与直线上动点有关的最值的解法与直线上动点坐标有关的式子的最值问题，求解时要根据式子的结构特征，弄清其表示的几何意义，一般为两点连线的斜率，两点间的距离，或点到直线的距离.从而利用数形结合的思想求解. 11.【解析】(1)方法一：当两直线的斜率都不存在时，两直线方程分别为x=6，x=-3，此时d=9；当两直线斜率存在时,设两条直线方程分别为y=kx+b1，和y=kx+b2，则即， 而, ∴d2+d2k2=81k2-54k+9, 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0, 由于k∈R，∴Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0， 整理得4d2(90-d2)≥0，∴0＜d≤. 综上0＜d≤. 方法二：画草图可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d=|AB|=最大，当两平行线重合，即都过A，B点时距离d=0最小，但平行线不能重合， ∴0＜d≤. (2)因为d=时，k=-3, 故两直线的方程分别为 3x+y-20=0和3x+y+10=0. 【探究创新】 【解析】显然直线f(x)=k(x-2)+3与x轴、y轴的交点坐标分别为A(,0)，B(0,3-2k)； 当k＜0时，△AOB的面积为，依题意得，， 即4k2-(12-2m)k+9=0. 又因为Δ=［-(12-2m)］2-4×4×9，且m＞0，所以， m=12时，k值唯一，此时直线l唯一；m＞12时，k值为两个负值，此时直线l有两条； 当k＞0时，△AOB的面积为，依题意得， ，即 4k2-(12+2m)k+9=0, 又因为Δ=［-(12+2m)］2-4×4×9=4m2+48m， 且m＞0，所以Δ＞0，对于任意的m＞0，方程总有两个不同的解且都大于零，此时有两条直线； 综上可知：不存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；当0＜m＜12时，直线l有两条；当m=12时，直线l有三条；当m＞12时，直线l有四条.
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