巩固双基,提升能力
一、选择题
1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( )
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形
C．成直角三角形 D．在一条直线上
解析：D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，D、E、F共线．
答案：D
2．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C?l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．直线AR
解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB?γ，∴R∈γ.
又∵C，R∈β，故CR＝β∩γ.
答案：C
3．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B.
答案：B
4．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A、M、O三点共线
B．A、M、O、A1不共面
C．A、M、C、O不共面
D．B、B1、O、M共面
解析：连接A1C1，AC则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面．
∴A1C?平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1，
∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．
同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
∴A、M、O三点共线.
答案：A
5．(2013·沈阳质检)正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.
答案：A
6．(2013·烟台调研)如图所示是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析：该题我们可以通过补形处理，由于△ABC中AB＝AC，且∠A＝90°，同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′－ABC，则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数．
其中B′D＝2，DO＝＝＝，
B′O＝＝，可得cos∠B′DO＝.
答案：A
二、填空题
7．(2012·四川)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．
解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.
又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1?平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，
∴DN⊥平面A1MD1，
∴DN⊥A1M，即夹角为90°.
答案：90°
8．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中 ，∠B1AH为AB1与BD所成角．设AB＝1，则A1A＝，∴B1A＝，AH＝BD＝，∴cos∠B1AH＝＝，
∴∠B1AH＝60°.
答案：60°
9．(2013·金华联考)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)
解析：如题干图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H?面GMN，
∴GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面.
答案：②④
三、解答题
10．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．
解析：如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理，知EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.
GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．
同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.
又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，
∴GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.
11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
解析：(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.
又BC綊AD，∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)方法一：由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，
∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，
∵BE綊AF，
∴B为MA中点．
∵BC綊AD，
∴B为M′A中点．
∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．
∴C、D、F、E四点共面．
12．(1)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝45°的直线有几条？
(2)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝60°的直线有几条？
(3)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a与b所成角φ＝70°的直线有几条？
解析：过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.
(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°.
(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．
(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．
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