课时提能演练(五十二)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.若x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ=0表示圆，则λ的取值范围是( )
(A){λ|≤λ≤1} (B){λ|<λ<1}
(C){λ|λ≥1或λ<} (D){λ|λ>1或λ<}
2.(预测题)若实数a,b满足条件a2+b2-2a-4b+1=0，则代数式的取值范围是
( )
(A)(0,］ (B)(0,)
(C)［0, ］ (D)［0,)
3.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)
(C)(1，+∞) (D)(2,+∞)
4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( )
(A)(x+2)2+(y-2)2=1 (B)(x-2)2+(y+2)2=1
(C)(x+2)2+(y+2)2=1 (D)(x-2)2+(y-2)2=1
5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
(A)10 (B)20 (C)30 (D)40
6.(2012·长沙模拟)过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
(A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4
(C)(x-1)2+(y-1)2＝4 (D)(x+1)2+(y+1)2=4
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·宜宾模拟)圆x2+y2+2x-3=0的半径为________.
8.圆C：x2+y2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是_________.
9.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围为________；该圆半径r的取值范围是_________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(易错题)已知圆C：(x+1)2+y2=8.
(1)设点Q(x,y)是圆C上一点，求x+y的取值范围；
(2)在直线x+y-7=0上找一点P(m,n),使得过该点所作圆C的切线段最短.
11.(易错题)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13；圆弧C2过点A(29,0).
(1)求圆弧C2的方程.
(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO？若存在,指出有几个这样的点；若不存在,请说明理由.
(3)已知直线l:x-my-14=0与曲线C交于E，F两点,当EF=33时,求坐标原点O到直线l的距离.
【探究创新】
(16分)如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直于直线AB.点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L于M、N点.
(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程；
(2)当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过AB上一定点.
答案解析
1.【解析】选D.由题知(λ-1)2+(2λ)2-4λ＞0，
∴5λ2-6λ+1＞0，∴λ＞1或λ＜
2.【解析】选C.方程a2+b2-2a-4b+1=0可化为(a-1)2+(b-2)2=4,则可看作圆(a-1)2+(b-2)2=4上的点(a,b)与点(-2,0)的连线斜率，设=k，则过点(-2,0)，斜率为k的直线方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0,
当直线与圆相切时，取最值，
由得5k2-12k=0,∴k=0或k=,
∴.
3.【解析】选D.曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a)，半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限，所以a＞2.
4.【解析】选B.圆C2的圆心与圆C1的圆心关于直线x-y-1=0对称，所以设圆C2的圆心为(a,b)，则=-1?a+b=0，且()在x-y-1=0上，解得a=2,b=-2.
5.【解题指南】注意最长弦与最短弦互相垂直，该四边形的面积为两对角线乘积的倍.
【解析】选B.由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2=52，点(3,5)在圆内，且与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为，∴四边形ABCD的面积.
6.【解析】选C.设圆心C的坐标为(a,b)，半径为r.
∵圆心C在直线x+y-2=0上，
∴b=2-a.∵|CA|2=|CB|2,
∴(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2,
∴a=1,b=1,∴r=2,
∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
7.【解析】由题知半径.
答案：2
8.【解析】因为圆心坐标为(-1,1)，所以圆心到直线3x+4y+14=0的距离为.
答案:3
9.【解析】将圆方程配方得：
(x-m-3)2+(y-4m2+1)2=-7m2+6m+1,
由-7m2+6m+1＞0,得m的取值范围是＜m＜1；
由于,
∴.
答案：＜m＜1
10.【解题指南】(1)可设x+y=t，注意该直线与圆的位置关系即可得出结论；
(2)可利用切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且有半径为一定值；只需圆心到直线的距离最小即可.
【解析】(1)设x+y=t，因为Q(x,y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即，解得：-5≤t≤3，
即x+y的取值范围为［-5,3］；
(2)因为圆心C到直线x+y-7=0的距离为，
所以直线与圆相离，又因为切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且有半径为一定值，所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线，过其垂足作圆的切线所得切线段最短，其垂足即为所求的点P；
设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0.
又因为该线过圆心(-1,0)，所以-1-0+c=0，即c=1，
而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4)，即所求的点为P(3,4).
11.【解析】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).
则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17)，令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0),
又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225(5≤x≤29).
(2)假设存在这样的点P(x,y)，则由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0,
由 ，解得x=-70(舍去)
由，解得x=0(舍去)，
综上知，这样的点P不存在.
(3)因为EF＞2r2,EF＞2r1,所以E，F两点分别在两个圆弧上.设点O到直线l的距离为d,因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0),所以,
即,解得,
所以点O到直线l的距离为.
【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围，其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.
【变式备选】如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上.
(1)求证：F＜0；
(2)若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且，求D2+E2-4F的值；
(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由.
【解析】(1)方法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0，于是有F＜0，即证.
方法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0),C(c,0)，则有ac＜0.对于圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F.
因为ac＜0,故F＜0.
(2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD的面积
，因为S=8，
|AC|=2，可得|BD|=8.
又因为，所以∠BAD为直角，又因为四边形是圆M的内接四边形，故|BD|=2r=8?r=4.
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，
可知,所以D2+E2-4F=4r2=64.
(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b), C(c,0),D(0,d).
则可得点G的坐标为(),即.
又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G、O、H三点共线，只需证即可.
而,且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有xAxC=ac=F.
同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有yByD=bd=F.
所以，,即AB⊥OG.
故O、G、H三点必定共线.
【探究创新】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为x2+y2=4,
直线L的方程为x=4.
(1)当点P在x轴上方时，
∵∠PAB=30°,
∴点P的坐标为(1,),
∴lAP：y=(x+2)，
lBP：y=(x-2).
将x=4代入，得M(4,),N(4,).
∴MN的中点坐标为(4,0),.
∴以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是(x-4)2+y2=12.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),∴x02+y02=4(y0≠0),
∴y02=4-x02.
∵lPA：,lPB：,
将x=4代入，得,
,∴M(4,),N(4,),
.
MN的中点坐标为(4,).
以MN为直径的圆O′截x轴的线段长度为
，为定值.
∴⊙O′必过AB上的定点(，0).
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